给定一个二分图G(V,E)，V为顶点集，E为边集，在G的一个子图M中，M的边集E中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
求二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)。
在这里我们主要讲解匈牙利算法。生活中，一个二分图最大匹配的典型应用是男女配对问题。假设有N个男生和M个女生，一个男生可以同时喜欢一个或者多个女生，当然也可以不喜欢任何女生。“喜欢”这种关系可以通过图模型来构建，若男生i和女生j互相喜欢，则在含有N+M个顶点的图中，存在一无向条边i--j。在上述图中，求解通过怎样的配对安排，使得配对的人数最多。
匈牙利算法框架
1. 初始化子图M为空
2. 若找到一个增广路径P，通过取反操作可以获得更多匹配数的子图M‘,M=M‘
3. 重复步骤2直到无法找到一个增广路径
何谓增广路径？
上图红色的三条边(1,2),(3,6),(5,8)为已经匹配的三条边。顶点7为未匹配点，从该点开始，找到一条路径：
7-->6-->3-->2-->1-->4
该路径即为一条增广路径（红色标记的为匹配边，黑色的为未匹配边）。增广路径有如下性质：
- 非匹配边和匹配边交替出现，其长度必定为奇数，且非匹配边比匹配边多一条
- 路径的起点和终点都是非匹配点（起点和终点不是同一个点）
- M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径
利用性质“增广路径的非匹配边比匹配边多一条”，然后将非匹配边和匹配边反转，就可以不断增加匹配点和匹配边。上图反转后的结果图如下：
不断迭代，直到不能找到增广路径，即得到最大匹配（增广路定理）。
bool g[1011][1011]; bool isVisited[1011]; //标记点i是否被访问过 int matched[1011]; //表示点i匹配到的在另一边的点的编号int n, m; //分别表示左边和右边顶点的个数 bool DFS(int u){ for(int i = 1; i <= m; i++){ if(g[u][i] && !isVisited[i]){ isVisited[i] = true; if(!matched[i] || DFS(matched[i])){ //如果点i没有被访问或者从点matched[i]出发可以找到一条在增广路径 matched[i] = u;//设置匹配的点为u return true; } } } return false; } int maxMatch(){ int res = 0; memset(matched, 0, sizeof matched); for(int i = 1; i <= n; i++){ memset(isVisited, 0, sizeof isVisited); if(DFS(i)) res++; } return res; }
个人理解：匈牙利算法在理解上还是很直观的。假设遍历左边的点，对于第i个点，接着逐一访问与点i相连的右边的点，若右边的点为未访问状态，则开始访问。若该点，假设为点s，还未配对，则直接将该点与i配对；若已配对，则查看与s已经配对的点j是否可以改变配对对象而让i与s配对，这就是找增广路径的过程。当点j无法改变配对对象s时，则表示已经达到最大二分匹配。
