题目描述
求一棵 $[1,n]$ 的线段树的最大匹配数目与方案数。
$n\le 10^{18}$
题解
树形dp+记忆化搜索
设 $f[l][r]$ 表示根节点为 $[l,r]$ 的线段树，匹配选择根节点的最大匹配&方案数，$g[l][r]$ 表示根节点为 $[l,r]$ 的线段树，匹配不选择根节点的最大匹配&方案数。那么这是一个很普通的树形dp。
注意到区间长度相等的线段树的结果是一样的，且每层至多有两种区间长度不同的区间（参考 这题 ），因此直接以区间长度为状态进行记忆化搜索即可。
这里偷懒使用了map，时间复杂度 $O(\log^2 n)$
#include <map>
#include <cstdio>
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
struct data
{
ll x , y;
data() {}
data(ll a , ll b) {x = a , y = b;}
data operator+(const data &a)const {return data(x + a.x , y * a.y % mod);}
data operator*(const data &a)const
{
if(x > a.x) return *this;
if(x < a.x) return a;
return data(x , (y + a.y) % mod);
}
};
struct node
{
data f , g;
node() {}
node(data a , data b) {f = a , g = b;}
};
map<ll , node> mp;
node dfs(ll n)
{
if(mp.find(n) != mp.end()) return mp[n];
node l = dfs(n - (n >> 1)) , r = dfs(n >> 1);
return mp[n] = node((l.f + r.g + data(1 , 1)) * (l.g + r.f + data(1 , 1)) * (l.g + r.g + data(1 , 2)) , (l.f + r.f) * (l.f + r.g) * (l.g + r.f) * (l.g + r.g));
}
int main()
{
mp[1] = node(data(-1 , 0) , data(0 , 1));
ll n;
scanf("%lld" , &n);
node tmp = dfs(n);
data ans = tmp.f * tmp.g;
printf("%lld %lld\n" , ans.x , ans.y);
return 0;
}
