一.进位计数制

1.进制表示:

表示b进制下的n+1位数。

2.进制转换:

进制向十进制转换：
乘以基数并展开：

十进制向b进制转换：
整数部分除以基数并倒取余数。
小数部分乘以基数，并顺取整数部分

3.例题：

a.天平1:

一个天平，有N个重量未知的砝码，砝码重量可由你自由确定。
砝码可任意放在天平的左右两边，但要求称出从1到M之间所有的重量，
现给出\(N\)的值，请问M最大值为多少。
答案：\([0,3^N]\)。具体见下面解析。

b.天平2：

一个天平，砝码分别为1g、3g、9g、27g、…、6561g…，
每个砝码只有一个，要称重的物品放在天平的左侧，而砝码允许放在天平的左右两侧。
已知一个物品的质量N （N≤108 ），问如何称重？
_____________________________________________________________________
解析：
就是将\(N\)转换成三进制后，
将三进制中的0、1、2三个状态转换成 0、1 、-1
具体的说，就是0和1不变，2变成-1后，其高一位加1。
例如：
\(N\)转化为三进制后为{1,2,0,1} ， 那么对应的状态为:{1,-1,-1,0,1}。
即三进制中的2是没法直接称量的，因为每个重量的砝码只有一个，所以只能通过相减来处理。

c.天平3：

一个天平，砝码分别为1g、3g、9g、27g、…、6561g…，每个砝码只有一个，
要称重的物品放在天平的左侧，而砝码只允许放在天平的右侧。
将由这个系统可以称出来的重量按从小到大的顺序进行排列，
得到下列序列：1,3,4,9,10,...。问其中的第K个重量是多少？
_____________________________________________________________________
解析：仔细观察就可以发现，将K转化为二进制后，为1的即放置对应质量的三进制重量砝码即可。

二.素数和合数

1.素数判定：

枚举\(\sqrt{N}\)内的质因子即可。 时间复杂度\(O(\sqrt{N})\)。

2.欧拉筛法(线性筛素数)

原理：?每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数。
实现代码(筛出\([0,N]\)的素数)：

void Prime(int N){    
       memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
       isPrime[0 ] = false ;  isPrime[1] = false ;
       for (int i = 2 ; i <= N ; i++){
             if ( isPrime[i] )prime[++ total] = i ;            //把素数记录下来
             //遍历已知素数表中比i的最小素因数小的素数，并筛去合数
             for(int j = 1 ; j <= total && i * prime[j] <= N ; j++){ 
                 isPrime[ i * prime[j] ] = false ;
                 if  (!( i % prime[j]))  break;                   //找到i的最小素因数
             }
      }
}

三.唯一分解定理

对任一整数\(a＞1\)，有\(a= p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_n^{a_n}\)
几个比较重要的结论(证明都很显然)。

四.欧拉函数

1.定义：

欧拉函数: \([1,n]\)中和\(n\)互素的元素个数 \(φ(n)\)
\[φ(n) = \Sigma_{i=1}^{n} [gcd(i,n) ==1]\]

2.性质：

• <1> 如果\(n\)为某一素数\(p\)，则\(φ(p)=p-1\)

• <2> 如果\(n\)为某一素数\(p\)的幂次\(p^a\)，\(φ(p^a)=(p-1)×p^{a-1}\)
  证明:\(φ(p^{a}) = φ(p^{a-1})*p = (p^a-1)*(1-\frac{1}{p})*p = (p-1)×p^{a-1}\)

• <3> 欧拉函数是积性函数，即当\(gcd(m,n)=1\)时 \(f(mn)=f(m)*f(n)\)

• <4> 欧拉函数计算公式：
  设\(p_1^{a_1}×p_2^{a_2}×…×p_k^{a_k}\)为正整数n的素数乘积式，则

\[φ(n) =n×(1-\frac{1}{p_1}) ×(1-\frac{1}{p_2})×…×(1-\frac{1}{p_k})\]

3.欧拉函数线性筛

void eular(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if (!IsPrime[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(prime[j]*i>n)break;
            Isprime[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0)
               {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];  break;}       //p是x的约数
             else
               phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);         //p不是x的约数
        }
    }return;
} 

理解：
设P是素数，
若p是x的约数，则\(φ(x*p)=φ(x)*p\)
//没有加项。
若p不是x的约数，则\(φ(x*p)=φ(x)*φ(p)=φ(x)*(p-1).\)
//加了一项，即\(φ(x*p) = φ(x)*p*(1-\frac{1}{p}) = φ(x)*(p-1);\)

例题：

例一:Poj 2773Happy 2006

给出一个数字\(M\) (\(1 \leq M \leq 10^6\)), 数字\(K\) (\(1 \leq K \leq 10^8\)).求与M互质的第K个数字
_____________________________________________________________________
解法1：
注意到若(a,m) = 1，那么(a+m*k,m)=1
所以实际上与m互质的数分布是一个分块区间。
以[1,m]为一个周期循环，此法常数要卡一卡。
______________________________________________________________________
解法2：
先二分这个值n，
然后检查小于等于n且与m互质的数的个数。
先处理出m的因数，然后用\(φ(x)\)容斥即可。

例二：[SDOI2012]Longge的问题

求：\(∑gcd(i, N)\) , \((1\leq i \leq N)\) , 其中$0<N\leq 2^{32}
$ 。
解析：见博客：http://www.cnblogs.com/GuessYCB/p/8192826.html