Description
沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关
Input
输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。
输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。
Output
仅包含一个整数，表示最多的通关数。
Sample Input
2 8 12
5 4 5
3 8 10
6 2 3
1 3 7
Sample Output
HINT
.jpg)
题解：
这道题我们不难发现，每一个抛物线都是过原点的，所以显然：$$y=ax^2+bx$$
由于这道题题目中的“靶子”都是纵向的竖线，即满足：$$y_1≤ax^2+bx≤y_2$$
所以:
$$
f(n) =
\begin{cases}
b≥ \frac{y_1}{x}-ax\\
b≤ \frac{y_2}{x}-ax
\end{cases}
$$
我们可以发现每一个关卡就是一组这样的不等式，
那么我们将a作为x轴，b作为y轴，因为每次的x，y1，y2都是确定的，那么每一关就相当于一条直线，用半平面交就可以确定了。
半平面交O(nlogn)算法参考数学一本通P266中朱泽园提出的“排序增量算法”
//Never forget why you start #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #define double long double #define inf (1e15) using namespace std; int n,m; struct point { double x,y; friend double operator * (const point a,const point b) { return a.x*b.y-a.y*b.x;//向量叉乘 } friend point operator - (const point a,const point b) { point ans; ans.x=a.x-b.x; ans.y=a.y-b.y; return ans;//向量相减 } }; struct line { point a,b; int id; double k; friend bool operator < (const line a,const line b) { if(a.k==b.k)return (a.b-a.a)*(b.a-a.a)>0;//向量叉乘表示a比b小 else return a.k<b.k;//重载小于号，先按级角排序，如果级角相同，越靠左的越小 } } l[200010],a[200010],q[200010]; point suan(line a,line b) { double k1,k2,t; k1=(b.b-a.a)*(a.b-a.a); k2=(a.b-a.a)*(b.a-a.a); t=k2/(k1+k2); point p; p.x=b.a.x+t*(b.b.x-b.a.x); p.y=b.a.y+t*(b.b.y-b.a.y); return p; }//计算两个向量的交点 double cal(double a,double b,double x) { return b/a-a*x; }//计算一个直线上f(x) bool pd(line a,line b,line c) { point p=suan(a,b); return (p-c.a)*(c.b-c.a)>0; }//判断是否要出栈，即当前向量是否在上一交点的左侧 bool judge(int mid) { int i,cnt=0; for(i=1; i<=m; i++) { if(l[i].id<=mid) { if(l[i].k!=a[cnt].k)cnt++; a[cnt]=l[i]; } }//将前mid关的靶子放入a[]中 int l=1,r=0; q[++r]=a[1]; q[++r]=a[2]; for(i=3; i<=cnt; i++) { while(l<r&&pd(q[r-1],q[r],a[i]))r--; while(l<r&&pd(q[l+1],q[l],a[i]))l++; q[++r]=a[i]; } while(l<r&&pd(q[r-1],q[r],q[l]))r--; while(l<r&&pd(q[l+1],q[l],q[r]))l++;//因为是一个环，所以首尾都要尽可能的出栈 return r-l>=2;//如果最终r-l>=2则说明至少有合法的半平面交存在 } int main() { int i,j; scanf("%d",&n); l[++m].a=(point){-inf,-inf};l[m].b=(point){inf,-inf}; l[++m].a=(point){inf,-inf};l[m].b=(point){inf,inf}; l[++m].a=(point){inf,inf};l[m].b=(point){-inf,inf}; l[++m].a=(point){-inf,inf};l[m].b=(point){-inf,-inf};//算法要求，必须要在四周加上边界 for(i=1; i<=n; i++) { double x,ya,yb; scanf("%Lf%Lf%Lf",&x,&ya,&yb); l[++m].a.x=-1;l[m].a.y=cal(x,ya,-1); l[m].b.x=1;l[m].b.y=cal(x,ya,1); l[++m].a.x=1;l[m].a.y=cal(x,yb,1); l[m].b.x=-1;l[m].b.y=cal(x,yb,-1); l[m].id=l[m-1].id=i; } for(i=1; i<=m; i++) l[i].k=atan2(l[i].b.y-l[i].a.y,l[i].b.x-l[i].a.x);//这个函数可以直接计算出级角 sort(l+1,l+m+1);//将级角从小到大排序 int l=1,r=n,ans=0; while(l<=r) { int mid=(l+r)>>1; if(judge(mid))ans=mid,l=mid+1; else r=mid-1; }//二分答案 printf("%d\n",ans); return 0; }
