在之前的博文OpenCV，计算两幅图像的单应矩阵，介绍调用OpenCV中的函数，通过4对对应的点的坐标计算两个图像之间单应矩阵\(H\)，然后调用射影变换函数，将一幅图像变换到另一幅图像的视角中。当时只是知道通过单应矩阵，能够将图像1中的像素坐标\((u_1,v_1)\)变换到图像2中对应的位置上\((u_2,v_2)\)，而没有深究其中的变换关系。
单应(Homography)是射影几何中的概念，又称为射影变换。它把一个射影平面上的点(三维齐次矢量)映射到另一个射影平面上，并且把直线映射为直线，具有保线性质。总的来说，单应是关于三维齐次矢量的一种线性变换，可以用一个\(3\times3\)的非奇异矩阵\(H\)表示
\[
x_1 = Hx_2
\]
这是一个齐次坐标的等式，\(H\)乘以一个非零的比例因子上述等式仍然成立，即\(H\)是一个\(3\times3\)齐次矩阵，具有8个未知量。
假设已经取得了两图像之间的单应，则可单应矩阵\(H\)可以将两幅图像关联起来
\[
\left(\begin{array}{c}u_1\\v_1\\1\end{array}\right) = H\left(\begin{array}{c}u_2\\v_2\\1\end{array}\right)
\]
其中，\((u_1,v_1,1)^T\)表示图像1中的像点，\((u_2,v_2,1)^T\)是图像2中的像点，也就是可以通过单应矩阵\(H\)将图像2变换到图像1，如下图。这有了很多实际的应用，例如图像的校正、对齐以及在SLAM中估计两个相机间的运动。
同一相机在不同的位姿得到同一平面的图像
假设使用同一相机在不同的位姿拍摄同一平面，如下图：
上图表示场景中的平面\(\pi\)在两相机的成像，设平面\(\pi\)在第一个相机坐标系下的单位法向量为\(N\)，其到第一个相机中心（坐标原点）的距离为\(d\)，则平面\(\pi\)可表示为：
\[
N^TX_1 = d
\]
即
\[
\frac{1}{d}N^TX_1 = 1,\forall X_1 \in \pi
\]
其中，\(X_1\)是三维点\(P\)在第一相机坐标系下的坐标，其在第二个相机坐标系下的坐标为\(X_2\)，则
\[
X_2 = RX_1 + T
\]
将上面式子结合起来，
\[
X_2 = RX_1 + T\frac{1}{d}N^TX_1=(R+T\frac{1}{d}N^T)X_1=H'X_1
\]
所以就得到了同一平面两个不同相机坐标系的单应矩阵
\[
H' = R+T\frac{1}{d}N^T
\]
上面提到单应表示的是两个平面之间的映射，这里为何得到了同一平面两个不同相机坐标系的单应矩阵。虽然平面是通过，但是在不同坐标系中会有不同的表示，单应也是将平面从一个位置映射到另一个位置，并保持其某些性质不变，例如保线性。[image]
上面得到的单应矩阵第一个相机坐标系取得，还需要将其变换到成像平面坐标系中，取得两图像间的单应矩阵。设\(x_1,x_2\)为\(P\)在两图像的像点坐标，
\[
x_1 = KX_1,x_2 = KX_2
\]
\(K\)是相机的内参数，代入上面求得单应变换公式
\[
K^{-1}x_2 = HK^{-1}x_1 \Longrightarrow x_2 = KH'K^{-1}x_1=K(R+T\frac{1}{d}N^T)K^{-1}x_1
\]
所以，同一平面得到的两个图像间的单应矩阵\(H\)为
\[
H = K(R+T\frac{1}{d}N^T)K^{-1}
\]
平面的单应和对极约束的区别
两图像间的单应矩阵后，有什么作用呢？它和两幅图像间的对极约束有何区别
两图像间的对极约束和场景的结构无关，也就是说对极约束对于任意场景结构的两幅图像都是成立的，不能给出两幅图像上的像点的一一对应关系，只能给出点对应的必要条件，另一幅图像上与图像上对应的像点在位于对应的对极线上。基础矩阵\(F\)描述的实际是一种点和直线的映射关系，而不是一种点对点的约束关系，并不能给出另一个点的确切位置。
平面间的单应，并不像对极约束完全不需要场景的结构信息，它对场景的结构有了要求：场景的点必须在同一个平面上，因此单应矩阵\(H\)也就能够对两图像上对应点的提供更多的约束，知道了某点在一幅图像的像点位置后，可以通过单应矩阵，求得其在另一幅图像中像点的确切位置。
也就说，三维点如果不是在同一个平面上，可以使用基础矩阵\(F\)来计算图像上像点在另一幅图像上对应的对极线，而不能使用单应矩阵\(H\)得到对应点的确切位置。但如果在这种情况下，仍使用单应矩阵\(H\)计算对应点的位置，其结果会如何呢，如下图
通过平面\(P\)在两图像上的匹配点，计算得到了其两图像间的单应矩阵\(H\)。三维点\(p'\)并不在平面\(P\)上，其在图像1中的像点为\(x_1\)，使用单应矩阵\(H\)计算其在图像2中对应的像点。从上图可以看出，\(p'\)在图像2上的像点是\(x_2'\)，而使用单应矩阵计算得到的像点却是\(x_2\)。
在这种情形下，使用单应矩阵\(H\)估计图像上对应点位置，误差来自两个方面：
- 三维点\(p'\)和单应矩阵\(H\)对应的平面\(P\)之间的距离。
从上图可知使用\(H\)计算\(p'\)像点位置时，实际得到的是却是平面\(P\)上的点\(p\)在图像2的像点，而\(p\)是相机1的中心\(O_1\)和\(p'\)确定的直线和平面\(P\)的交点。 - 相机2相对于相机1的平移。
具体分析可看下一小节相机只有旋转无平移下的单应。
也就是说，在相机的平移相对于场景的深度足够小时，仍然可以使用单应矩阵\(H\)来计算图像中匹配像点的对应位置。
该段分析多数参考Homography 知多少？
相机只有旋转无平移下的单应
当相机在只有旋转而没有平移的情况下取得同一场景的两幅图像，可以使用单应矩阵\(H\)来描述这两图像之间的关系。
通过前面的文章知道，相机在不同位姿下取得同一场景的图像，可以使用基础矩阵\(F\)描述两图像像点之间的约束关系。这里的不同位姿指的是相机要有旋转和平移，但如果相机之间只有旋转无平移，图像的像点之间又有怎样的约束关系呢，单应矩阵\(H\)又和前面提到的基础矩阵\(F\)，有何不同。
假设得到两幅图像的相机之间只有旋转，而没有平移\(t = (0,0,0)^T\)，有：
\[
p_1 = KP \ ,p_2 = KRP
\]
其中,\(K\)是相机的内参，\(p_1,p_2\)分别是两图像的像点，\(P\)在相机坐标系下的三维点坐标，以第一个相机的中心为坐标原点。
从上面公式可得到
\[
P=K^{-1}p_1,p_2 = KRK^{-1}p_1
\]
又有两个图像间的单应\(p_2 = Hp_1\)，所以就有：
\[
H = KRK^{-1}
\]
也就是在相机只有旋转的情况下，可像求解两图像间的单应矩阵\(H\)，然后可从\(H\)中分解得到相机的内参数\(K\)，以及旋转矩阵\(R\)。
基础矩阵\(F=K^{-T}t_{\times}RK^{-1}\)（具体推导过程可参看：SLAM入门之视觉里程计(3)：两视图对极约束 基础矩阵 ），而由于相机的平移向量\(t = (0,0,0)^T\)，可知基础矩阵\(F\)为零矩阵，也就是说
- 在相机只有旋转而没有平移的情况下，两视图的对极约束就不再适用，这时可以使用单应矩阵\(H\)来描述两个图像像点的对应关系。
- 在这种情况下，两图像点的匹配不依赖于三维点的深度信息，无法使用三角法重构出三维点在世界坐标系中的三维坐标。
通过匹配的点对计算单应矩阵
两图像上的像点\(p_1(x_1,y_1),p_2(x_2,y_2)\)是一对匹配的点对，其单应矩阵为\(H\)，则有
\[
\left(\begin{array}{c}x_2\\y_2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}H_{11}&H_{12}&H_{13}\\H_{21}&H_{22}&H_{23}\\H_{31}&H_{32}&H_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\y_1\\1\end{array}\right)\Leftrightarrow p_2= Hp_1
\]
将矩阵的乘法展开，即可得到
\[
\left\{
\begin{array}{c}
x_2 = H_{11}x_1 + H_{12}y_1 + H_{13} \y_2 = H_{21}x_1 + H_{22}y_1 + H_{23} \1 = H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33}
\end{array}
\right.
\]
方便求解，可以将上面等式变换为\(Ax = 0\)的形式，做如下变换
第一和第二个式子的左右两边同时乘以第三个式子的左右两边得到
\[
x_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})=H_{11}x_1 + H_{12}y_1 + H_{13} \y_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})=H_{21}x_1 + H_{22}y_1 + H_{23}
\]
将式子的右边变为0
\[
x_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})-H_{11}x_1 + H_{12}y_1 + H_{13} = 0 \y_2(H_{31}x_1 + H_{32}y_1 + H_{33})-H_{21}x_1 + H_{22}y_1 + H_{23} = 0
\]
将上面的等式改写为向量积的形式，令\(h=(H_{11}, H_{12},H_{13},H_{21},H_{22},H_{23},H_{31},H_{32},1)^T\)，单应矩阵\(H\)是一个齐次矩阵，可以将其最后一个元素归一化为1。
则上面两个式子可以改写为
\[
a_xh = 0\a_yh = 0
\]
其中,\(a_x = (-x_1,-y_1,0,0,0,x_2x_1,x_2y_1,x_2)^T\)，\(a_y=(0,0,0,-x_1,-y_1,-1,y_2x_1,y_2y_1,y_2)^T\)
一对匹配的点对，可以得到上述等式，\(H\)有8个未知量，也就说最少4对匹配的点对(任意3点不共线)，就可以求出两幅图像的单应矩阵\(H\)。但是通常来说，图像的匹配点对要超过4对，设得到了\(n\)对匹配的点对，可以得到如下的等式
\[
Ah = 0，其中 A = \left(\begin{array}{c}
a_{x1}^T\\a_{y1}^T\\a_{x2}^T\\a_{y2}^T\\ \vdots \\ a_{xn}^T\\a_{yn}^T
\end{array}\right)
\]
具体求解方法，可以参考SLAM入门之视觉里程计(4)：基础矩阵的估计，首先将图像坐标归一化，然后使用最小二乘法或者随机采样一致性(RANSAC)的方法估计得到单应矩阵\(H\)。
在OpenCV 中也封装了各种求解单应矩阵的方法，具体的使用可以参考OpenCV，计算两幅图像的单应矩阵，通过求解两图像的单应矩阵，将图像变换到同一个视角下，然后叠加到一起。
总结
相比于两视图的基础矩阵（本质矩阵）来说，两图像的单应矩阵比较难理解一些。针对本文，总结以下几点
- 使用场景
- 基础矩阵表示的是两视图的对极约束，和三维场景的结构无关，只依赖于相机的内参数以及外参数，需要两个相机的位置有旋转和平移
- 单应矩阵对场景的三维结构有了更多的要求，需要场景中的点在同一个平面上； 或者是，对相机的位姿有了要求，两个相机之间只有旋转而无平移
- 约束关系
- 基础矩阵表示的像点和另一幅图像上的对极线的映射关系，使用基础矩阵无法得到像点对应点在另一幅图像上的确切位置。
- 单应矩阵则是点和点的映射，使用单应矩阵可以找到像点在另一幅图像上对应点的确切位置。
- 使用单应矩阵而不是基础矩阵
- 相机只有旋转而无平移的时候，两视图的对极约束不成立，基础矩阵\(F\)为零矩阵，这时候需要使用单应矩阵\(H\)
- 场景中的点都在同一个平面上，可以使用单应矩阵计算像点的匹配点。
- 相机的平移距离相对于场景的深度较小的时候，也可以使用单应矩阵\(H\)。
