虽然最近打了很多场CF，也涨了很多分，但是好久没写CF的题解了。
前几次刚刚紫名的CF，太伤感情了，一下子就掉下来了，不懂你们Div.1。
珂学的那场我只做了第一题……悲伤。
这次的Educational Round打的还可以，虽然吧没有涨分（因为我是紫色的啊）。
做了前4题，后面3题也比较简单，陆续也做完了。
所以心情好，来写一篇题解！
【A】花园
题意：
长度为\(k\)的线段，用若干个长度为\(a_i\)的线段，正好覆盖。（\(a_i|k\)）
给定\(n\)个\(a_i\)，求出最小的\(k/a_i\)，前提是\(a_i|k\)。
题解：
大模拟。
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<cstdio> 6 #include<vector> 7 #include<queue> 8 #include<cmath> 9 #include<set> 10 #include<map> 11 #define ll long long 12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i) 13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) 14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i) 15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i) 16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i]) 17 using namespace std; 18 const int INF=0x3f3f3f3f; 19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;} 20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;} 21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;} 22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;} 23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;} 24 int n,k,x; 25 int ans=100000000; 26 int main(){ 27 scanf("%d%d",&n,&k); 28 while(n--) {scanf("%d",&x); if(k%x==0) ans=Min(ans,k/x);} 29 printf("%d",ans); 30 return 0; 31 }
【B】浏览器
题意：
看样例解释猜题意。
对于浏览器顶部的标签，你有这样的操作：关闭这个标签左/右侧的所有标签，把鼠标移到左/右一个标签。
给定标签数目\(n\)，鼠标现在所在的标签\(p\)，问你留下标签区间\([l,r]\)的最少操作次数。
题解：
大模拟，注意看左边/右边到底有没有标签。
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<cstdio> 6 #include<vector> 7 #include<queue> 8 #include<cmath> 9 #include<set> 10 #include<map> 11 #define ll long long 12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i) 13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) 14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i) 15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i) 16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i]) 17 using namespace std; 18 const int INF=0x3f3f3f3f; 19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;} 20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;} 21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;} 22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;} 23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;} 24 inline int Abs(int X){return X<0?-X:X;} 25 int n,p,l,r; 26 int main(){ 27 scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&l,&r); 28 if(l==1&&r==n){puts("0");return 0;} 29 if(l==1){printf("%d",Abs(p-r)+1);return 0;} 30 if(r==n){printf("%d",Abs(p-l)+1);return 0;} 31 printf("%d",Min(Abs(p-r),Abs(p-l))+r-l+2); 32 return 0; 33 }
【C】数位重排
题意：
给定两个数\(a,b\)，求出把\(a\)在十进制下数位重排后不超过\(b\)的最大数，不能有前导零。
题解：
暴力DFS。
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<cstdio> 6 #include<vector> 7 #include<queue> 8 #include<cmath> 9 #include<set> 10 #include<map> 11 #define ll long long 12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i) 13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) 14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i) 15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i) 16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i]) 17 using namespace std; 18 const int INF=0x3f3f3f3f; 19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;} 20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;} 21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;} 22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;} 23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;} 24 ll a,b,aa,bb; 25 int ca,cb; 26 int oo; 27 int use[10]; 28 int bs[20]; 29 int cs[20]; 30 void print(){ 31 oo=1; 32 // puts("!!"); 33 for(int i=ca;i>=1;--i) printf("%d",cs[i]); 34 } 35 void dfs(int stp,bool deng){ 36 if(stp==0) {print(); return;} 37 if(oo) return; 38 for(int i=deng?bs[stp]:9;i>=0;--i){ 39 if(stp==ca&&i==0) continue; 40 if(!use[i]) continue; 41 use[i]--; cs[stp]=i; 42 dfs(stp-1,deng?(i==bs[stp]):0); 43 use[i]++; 44 } 45 } 46 int main(){ 47 scanf("%lld%lld",&a,&b); aa=a,bb=b; 48 while(aa) use[aa%10]++,aa/=10,++ca; while(bb) bs[cb+1]=bb%10,bb/=10,++cb; 49 if(cb>ca){ 50 for(int i=9;i>=0;--i) while(use[i]) use[i]--,printf("%d",i); 51 return 0; 52 } 53 dfs(ca,1); 54 return 0; 55 }
【D】几乎无环图
题意：
给定一个有向图，问能否删掉一条边后，这个图变成无环图。\(2\leq n\leq 500,1\leq m\leq min(n(n-1),1000000)\)
题解：
先找到一个环（找不到就YES）。
找环用DFS/拓扑排序，我写的时候脑子不好，用了恶心的DFS。
这个环上最多\(n\)条边，对每条边都试一次，看看还有没有环。
为什么要先找到一个环？
拓扑排序/DFS的复杂度是\(O(n+m)\)的。
那么如果直接对每条边试着删除的话，总复杂度\(O((n+m)^2)\)，就T飞了。
先找到一个环的话，总复杂度\(O(n(n+m))\)，能过。
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<cstdio> 6 #include<vector> 7 #include<queue> 8 #include<cmath> 9 #include<set> 10 #include<map> 11 #define ll long long 12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i) 13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) 14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i) 15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i) 16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i]) 17 using namespace std; 18 const int INF=0x3f3f3f3f; 19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;} 20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;} 21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;} 22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;} 23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;} 24 int n,m; 25 int h[501],nxt[100001],to[100001],tot; 26 inline void ins(int x,int y){nxt[++tot]=h[x];to[tot]=y;h[x]=tot;} 27 int used[501],ret[501]; 28 int o,oo,ooo; 29 int stk[501],top,pos[501]; 30 int fk[501][501]; 31 bool use[100001]; 32 int cnt; 33 void dfs(int u){ 34 // printf(" u: %d\n",u); 35 used[u]=cnt; stk[++top]=u; pos[u]=top; 36 eF(i,u){ 37 if(used[to[i]]==0) dfs(to[i]); 38 else{if(used[to[i]]==cnt&&ret[to[i]]==0){/*printf("error : %d -> %d\n",u,to[i]);*/o=pos[to[i]]; return;}} 39 if(o) return; 40 } --top; ret[u]=1; 41 } 42 void dfs2(int u){ 43 // printf(" u: %d\n",u); 44 used[u]=cnt; 45 eF(i,u) if(!use[i]){ 46 // printf("%d -> %d\n",u,to[i]); 47 if(used[to[i]]==0) dfs2(to[i]); 48 else{if(used[to[i]]==cnt&&ret[to[i]]==0){/*printf("error : %d -> %d\n",u,to[i]);*/ooo=1; return;}} 49 if(ooo) return; 50 } ret[u]=1; 51 } 52 int main(){ 53 scanf("%d%d",&n,&m); 54 if(m-1>n*(n-1)/2) {puts("NO"); return 0;} 55 if(m<=2) {puts("YES"); return 0;} 56 int x,y; 57 F(i,1,m) scanf("%d%d",&x,&y), ins(x,y), fk[x][y]=tot; 58 F(i,1,n){ 59 o=0; top=0; cnt=i; 60 if(!used[i]) dfs(i); 61 if(o) {oo=1; break;} 62 } 63 if(!oo) {puts("YES"); return 0;} 64 // F(i,o,top) 65 // printf(",%d",stk[i]); puts(""); 66 F(i,o,top){ 67 // printf(" %d\n",stk[i]); 68 memset(used,0,sizeof used); 69 memset(ret,0,sizeof ret); 70 ooo=0; 71 if(i!=top) use[fk[stk[i]][stk[i+1]]]=1; 72 else use[fk[stk[i]][stk[o]]]=1; 73 F(j,1,n){ 74 cnt=j; 75 if(used[j]==0) dfs2(j); 76 // printf("%d %d %d\n",j,used[j],ooo); 77 // puts("===="); 78 if(ooo) break; 79 } 80 if(!ooo) {puts("YES"); return 0;} 81 if(i!=top) use[fk[stk[i]][stk[i+1]]]=0; 82 else use[fk[stk[i]][stk[o]]]=0; 83 } puts("NO"); 84 return 0; 85 }
【E】体育课
题意：
震惊，Alex发现自己虽然是个ACMer，但是他还是得参加体育期末考！【多么的讽刺啊……】
Alex要算出自己到期末的\(n\)天中，还有多少天能上体育课？
可惜学校时常更改一段时间的有/无上课的状态，可能把一整段区间都变成不上课或者上课。
你需要算出每一次更改后的答案。\(1\leq n\leq 10^9,1\leq q\leq 3\cdot 10^5\)。
题解：
离散化，线段树，没什么好说的。
1 #include<algorithm> 2 #include<cstdio> 3 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i) 4 using namespace std; 5 int n,q; 6 int x[300001],y[300001],opt[300001]; 7 int sq[600001],cnt; 8 int siz[600001]; 9 int sz[2097155],dat[2097155],lzy[2097155]; 10 void build(int i,int l,int r){ 11 if(l==r) {sz[i]=siz[l]; return;} 12 int mid=l+r>>1; 13 build(i<<1,l,mid), build(i<<1|1,mid+1,r); 14 sz[i]=sz[i<<1]+sz[i<<1|1]; 15 } 16 void init(){ 17 scanf("%d%d",&n,&q); 18 F(i,1,q) scanf("%d%d%d",x+i,y+i,opt+i), sq[++cnt]=x[i]-1, sq[++cnt]=y[i]; 19 sort(sq+1,sq+cnt+1); 20 int Cnt=cnt, lst=-1; cnt=0; 21 F(i,1,Cnt) if(sq[i]!=lst) sq[++cnt]=sq[i], lst=sq[i]; 22 F(i,1,cnt-1) siz[i]=sq[i+1]-sq[i]; 23 F(i,1,q) x[i]=lower_bound(sq+1,sq+cnt+1,x[i]-1)-sq, y[i]=lower_bound(sq+1,sq+cnt+1,y[i])-sq-1; 24 cnt--; 25 } 26 inline void pushdown(int i){ 27 if(lzy[i]==1) dat[i<<1]=sz[i<<1], dat[i<<1|1]=sz[i<<1|1], lzy[i<<1]=lzy[i<<1|1]=1; 28 if(lzy[i]==2) dat[i<<1]=dat[i<<1|1]=0, lzy[i<<1]=lzy[i<<1|1]=2; 29 lzy[i]=0; 30 } 31 void M(int a,int b,int i,int l,int r,int typ){ 32 if(a<=l&&r<=b) {dat[i]=(typ==1?(sz[i]):0); lzy[i]=typ; return;} 33 if(r<a||b<l) return; 34 pushdown(i); 35 int mid=l+r>>1; 36 M(a,b,i<<1,l,mid,typ), M(a,b,i<<1|1,mid+1,r,typ); 37 dat[i]=dat[i<<1]+dat[i<<1|1]; 38 } 39 int main(){ 40 init(); 41 build(1,1,cnt); 42 F(i,1,q){ 43 if(opt[i]==1) M(x[i],y[i],1,1,cnt,1); 44 else M(x[i],y[i],1,1,cnt,2); 45 printf("%d\n",n-dat[1]); 46 } 47 return 0; 48 }
【F】海棠数组树的失衡度
题意：
给你一棵树，节点有权值，计算\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nI(i,j)\)。
\(I(i,j)\)表示\(i\)到\(j\)的路径上的最大点权-最小点权。
题解：
考虑最大最小分开计算，最后最大减最小。
以最大点权为例，如何计算？
假设这个点是\(x\)，考虑计算与\(x\)直接或间接联通的点中，到\(x\)的路径中的点权都不比\(x\)大的点。
通过这些点的个数来计算答案。
可以证明，这些点和\(x\)形成的图是一棵树。
我们以\(x\)为根，\(x\)对答案的贡献是\(val_x\cdot[siz_x^2-\sum_{k=x.son}siz_k^2]\)。
那么怎么找到到\(x\)的路径上的点权都不比\(x\)大的点呢？
考虑按照\(val\)为顺序加入点，用并查集维护连通性，就能算答案了。
1 #include<algorithm> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i) 5 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i) 6 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i) 7 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i]) 8 int n,a[1000001],I[1000001],siz[1000001]; 9 inline bool cmp(int p1,int p2){return a[p1]<a[p2];} 10 int h[1000001],nxt[2000001],to[2000001],tot; 11 inline void ins(int x,int y){nxt[++tot]=h[x];to[tot]=y;h[x]=tot;} 12 bool vis[1000001]; 13 int fa[1000001]; 14 int ff(int x){return fa[x]?fa[x]=ff(fa[x]):x;} 15 long long ans; 16 int main(){ 17 scanf("%d",&n); 18 F(i,1,n) scanf("%d",a+i), I[i]=i; 19 int x,y,u; long long tmp; 20 F2(i,1,n) scanf("%d%d",&x,&y), ins(x,y), ins(y,x); 21 std::sort(I+1,I+n+1,cmp); 22 F(i,1,n){ 23 siz[u=I[i]]=1; tmp=0; vis[u]=1; 24 eF(j,u) 25 if(vis[to[j]]) siz[u]+=siz[ff(to[j])], tmp+=1ll*siz[ff(to[j])]*siz[ff(to[j])], fa[ff(to[j])]=u; 26 ans+=a[u]*(1ll*siz[u]*siz[u]-tmp); 27 } 28 memset(fa,0,sizeof fa); 29 dF(i,n,1){ 30 siz[u=I[i]]=1; tmp=0; vis[u]=0; 31 eF(j,u) 32 if(!vis[to[j]]) siz[u]+=siz[ff(to[j])], tmp+=1ll*siz[ff(to[j])]*siz[ff(to[j])], fa[ff(to[j])]=u; 33 ans-=a[u]*(1ll*siz[u]*siz[u]-tmp); 34 } 35 printf("%lld",ans>>1); 36 return 0; 37 }
【G】互质数组
题意：
我们说数组\(a\)是互质的，当且仅当\(gcd(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)=1\)。
给定\(k\)，对于每个\(i\;(1\leq i\leq k)\)，求出长度为\(n\)，且其中元素为\(1\)到\(i\)中的正整数的互质数组的个数。
答案对1000000007取模，再通过玄学的方式算出最终答案。
题解：
容斥+数论（莫比乌斯函数）。
考虑容斥，先计算所有的个数，再扣掉元素是\(2\)的倍数的数组的个数，\(3\)的倍数……
\(4\)的倍数不用扣掉，因为\(2\)已经扣掉过了。
但是\(6\)的倍数被\(2\)和\(3\)扣掉了两遍，要加回来。
对于是\(x\)的倍数，容斥系数就是\(\mu(x)\)——\(x\)的莫比乌斯函数。
对于\(i\)的答案，是\(\sum_{j=1}^{i}\mu(j)(\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor)^n\)。
对于每个\(i\)，我们使用差分的技巧统计答案。
1 #include<cstdio> 2 #define Mod 1000000007 3 int n,k,Ans; 4 bool isnprime[2000001]={1,1}; 5 int mobius[2000001]={0,1}; 6 int primes[1000001],pnum; 7 int ans[2000001]; 8 int pows[2000001]; 9 void Mobius(int num){ 10 for(int i=2;i<=num;++i){ 11 if(!isnprime[i]) 12 primes[++pnum]=i, mobius[i]=-1; 13 for(int j=1;j<=pnum&&i*primes[j]<=num;++j){ 14 isnprime[i*primes[j]]=1; 15 if(i%primes[j]==0) break; 16 mobius[i*primes[j]]=-mobius[i]; 17 } 18 } 19 } 20 inline int Pow(int base,int exp){ 21 int sum=1; 22 while(exp){ 23 if(exp&1) sum=(long long)sum*base%Mod; 24 base=(long long)base*base%Mod; exp>>=1; 25 } return sum; 26 } 27 int main(){ 28 scanf("%d%d",&n,&k); 29 Mobius(k); 30 pows[0]=0; 31 for(int i=1;i<=k;++i) pows[i]=Pow(i,n); 32 for(int i=1;i<=k;++i){ 33 if(!mobius[i]) continue; 34 for(int j=1;j*i<=k;++j){ 35 ans[j*i]-=mobius[i]*pows[j-1]; 36 ans[j*i]+=mobius[i]*pows[j]; 37 ans[j*i]=((ans[j*i]%Mod)+Mod)%Mod; 38 } 39 } 40 for(int i=1;i<=k;++i) ans[i]=(ans[i-1]+ans[i])%Mod, Ans=(Ans+(ans[i]^i))%Mod; 41 printf("%d",Ans); 42 return 0; 43 }
