题链：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4176
题解：
莫比乌斯反演，杜教筛
首先有这么一个结论：
令d(n)表示n的约数的个数(就是题目中的f(n))，则有
$$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]$$
●BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和也用到了这个东西。
那么就下来接直接进行求ANS的式子的推导：
$$\begin{aligned}
ANS&=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}d(nm)\\
&=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]\\
&=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\sum_{i|n}\sum_{j|m}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)\\
&=\sum_{d=1}^{N}\mu(d)\sum_{d|i}\sum_{d|j}\sum_{i|n,n\leq N}\sum_{j|m,m\leq N} 1\\
&=\sum_{d=1}^{N}\mu(d)(\sum_{d|i}\lfloor \frac{N}{i} \rfloor)^2\\
&=\sum_{d=1}^{N}\mu(d)(\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d} \rfloor}\lfloor \frac{N}{id} \rfloor)^2\end{aligned}$$
令$$f(n)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$$
则$$ANS=\sum_{d=1}^{N}\mu(d)f(\lfloor \frac{N}{d} \rfloor)^2$$
这个求ANS的式子是可以分块+杜教筛（求每块$\mu$的和）做的，
同时求f也可以分块求，
即这是一个块套块。。。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define DJM /*5623413*/ 1000000
using namespace std;
const int mod=1000000007;
struct Hash_Table{
#define Hmod 1425367
int org[DJM],val[DJM],nxt[DJM],head[Hmod],hnt;
Hash_Table(){hnt=1;}
void Push(int x,int v){
static int u; u=x%Hmod;
org[hnt]=x; val[hnt]=v; nxt[hnt]=head[u]; head[u]=hnt++;
}
int Find(int x){
static int u; u=x%Hmod;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
if(org[i]==x) return val[i];
return -1;
}
}H;
int pmu[DJM+50],mu[DJM+50];
void Sieve(){
static bool np[DJM+50];
static int prime[DJM+50],pnt;
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=DJM;i++){
if(!np[i]) prime[++pnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=pnt&&i<=DJM/prime[j];j++){
np[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
else break;
}
}
for(int i=1;i<=DJM;i++)
pmu[i]=(1ll*mod+pmu[i-1]+mu[i])%mod;
}
int f(int n){
int ret=0;
for(int i=1,last;i<=n;i=last+1){
last=n/(n/i);
ret=(1ll*ret+1ll*(last-i+1)*(n/i))%mod;
}
return ret;
}
int DJ_pmu(int n){
if(n<=DJM) return pmu[n];
if(H.Find(n)!=-1) return H.Find(n);
int ret=1;
for(int i=2,last;i<=n;i=last+1){
last=n/(n/i);
ret=(1ll*ret+mod-1ll*(last-i+1)*DJ_pmu(n/i)%mod)%mod;
}
H.Push(n,ret);
return ret;
}
int main(){
Sieve(); int n,ans=0;
scanf("%d",&n);
for(int d=1,tmp,last;d<=n;d=last+1){
last=n/(n/d); tmp=f(n/d);
tmp=1ll*tmp*tmp%mod;
ans=(1ll*ans+(1ll*DJ_pmu(last)-DJ_pmu(d-1)+mod)%mod*tmp%mod)%mod;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
