sol
LCT维护子树size。
开一个数组\(sz_i\)表示一个节点的所有虚儿子的size和，\(sum_i\)表示以一个节点为根的子树的\(size\)和，可见\(sz_u=\sum_{v\mbox{是}u\mbox{的虚儿子}}sum_v\)。
那么我们就需要动态维护这两个东西，首先考虑\(sz_i\)，这个只有在儿子的虚实关系被修改的时候才会变化，所以只有\(access\)和\(link\)的时候会改变。在\(access\)中一定会是一个儿子由虚变实，一个儿子由实变虚。因为维护的是虚儿子的和，所以加上那个由实变虚的，减去那个由虚变实的。
\(link\)里面注意两个点都要\(makeroot\)一下，然后\(sz\)也要更新，因为\(link\)连接了以后是默认虚儿子。
\(sum_i\)就有一个递推式直接\(pushup\)就好了。
\[sum_x=sum_{ls_x}+sum_{rs_x}+1+sz_x\]
code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 200005;
int gi()
{
int x=0,w=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return w?x:-x;
}
int n,q,fa[N],ls[N],rs[N],rev[N],sz[N],sum[N],Stack[N],top;
char s[1000];
bool isroot(int x){return ls[fa[x]]!=x&&rs[fa[x]]!=x;}
void pushup(int x){sum[x]=sum[ls[x]]+sum[rs[x]]+1+sz[x];}
void reverse(int x){swap(ls[x],rs[x]);rev[x]^=1;}
void pushdown(int x){if(!rev[x])return;if(ls[x])reverse(ls[x]);if(rs[x])reverse(rs[x]);rev[x]=0;}
void R_rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y];
ls[y]=rs[x];
if (rs[x]) fa[rs[x]]=y;
fa[x]=z;
if (y==ls[z]) ls[z]=x;if (y==rs[z]) rs[z]=x;
rs[x]=y;fa[y]=x;
pushup(y);
}
void L_rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y];
rs[y]=ls[x];
if (ls[x]) fa[ls[x]]=y;
fa[x]=z;
if (y==ls[z]) ls[z]=x;if (y==rs[z]) rs[z]=x;
ls[x]=y;fa[y]=x;
pushup(y);
}
void splay(int x)
{
Stack[top=1]=x;
for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
Stack[++top]=fa[i];
while (top) pushdown(Stack[top--]);
while (!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if (isroot(y))
if (x==ls[y]) R_rotate(x);
else L_rotate(x);
else
if (y==ls[z])
if (x==ls[y]) R_rotate(y),R_rotate(x);
else L_rotate(x),R_rotate(x);
else
if (x==ls[y]) R_rotate(x),L_rotate(x);
else L_rotate(y),L_rotate(x);
}
pushup(x);
}
void access(int x){for (int y=0;x;y=x,x=fa[x]) splay(x),sz[x]+=sum[rs[x]]-sum[y],rs[x]=y,pushup(x);}
void makeroot(int x){access(x);splay(x);reverse(x);}
void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);splay(y);}
void link(int x,int y){makeroot(x);makeroot(y);fa[x]=y;sz[y]+=sum[x];pushup(y);}
int main()
{
n=gi();q=gi();
for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=1;
while (q--)
{
scanf("%s",s);int u=gi(),v=gi();
if (s[0]=='A') link(u,v);
else split(u,v),printf("%lld\n",1ll*sum[u]*(sum[v]-sum[u]));
}
return 0;
}