AC自动机总结

自动机的概念：

自动机又称有限状态机，是从初始状态不断接受输入，根据输入数据和当前状态跳转到下一状态的一种机器。

AC自动机可以实现多串匹配单串。复杂度是\(O(n+m)\)，也就是匹配串长+模式串总长。
AC自动机匹配失配时，类似KMP算法的next数组，AC自动机上有fail指针可以跳到下一个应该进行匹配的状态。
fail指针的一般定义是：沿着父亲的fail指针一直向上跳，直到跳到某一个节点，这个节点拥有与自己相同字母的子节点，那么fail指针就指向这个相同字母的子节点。
一般写起来是这样的

void Get_Fail()
{
    for (int i=0;i<26;i++) if (ch[i][0]) Q.push(ch[i][0]);
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        for (int i=0;i<26;i++)
            if (ch[i][u]) fail[ch[i][u]]=ch[i][fail[u]],Q.push(ch[i][u]);
            else ch[i][u]=ch[i][fail[u]];
    }
}

这样相当于建出了一个Trie图，使得每个节点都拥有了26个儿子。如果你想要保存原Trie树的话请先备份。
一般来说插入一个模式串就是

void Insert(string c,int ID)
{
    int l=c.length(),x=0;
    for (int i=0;i<l;i++)
    {
        if (!ch[c[i]-'a'][x]) ch[c[i]-'a'][x]=++tot;
        x=ch[c[i]-'a'][x];
    }
    id[x]=ID;
}

然后因为AC自动机本身就和“状态”关系密切，所以AC自动机上往往会用来跑DP。
然后如果你不记得KMP怎么写了也可以写AC自动机。

几个小tips

如果是给出若干个串求匹配，由fail指针串起来的点是一个点，意思是如果你匹配了一个串，那么你同时也匹配了这个串的任意后缀。所以你在AC自动机上每走过一个点，就要暴跳fail到root进行匹配。
但如果是给出若干不合法串求合法方案数，这时由fail指针串起来的点就不是一个点，因为假使认为是同一个点会导致不合法状态计入。同时，不合法标记要沿着fail下传，意思是如果某一个串不合法，那么以这个串为前缀的任意串都不合法。

题

题目也不算多，因为基本上都是一样的，所以就不放代码直接嘴巴AC了。

[HNOI2004]L语言

题面
设\(f_i\)表示文章的前\(i\)个字符是否可以被理解。每次匹配要暴跳fail到根，转移就是\(f_i|=f_{i-len}\)，其中\(len\)是某个可以匹配的模式串的串长。
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[USACO15FEB]审查Censoring

题面
开一个栈记录依次经过的AC自动机上的节点编号以及这一次的字母，若匹配到一个串就直接弹掉栈顶的\(len\)个元素，\(len\)为匹配到的模式串长度。弹栈顶直接\(top-=len\)即可。
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[SDOI2014]数数

题面
AC自动机做数位DP。首先位数小于\(n\)的位数的数只要满足没有不合法串即可，记\(f_{i,j}\)表示填了\(i\)个数，当前在AC自动机上编号为\(j\)的节点上的方案数，取答案\(\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=0}^{tot}f_{i,j}\)。
位数等于\(n\)的，在前面那个状态上多加一维，表示是否已经严格小于那个数，然后按照数位DP的一般思路卡一卡就好了。
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[HNOI2008]GT (搞颓)考试

题面
先考虑\(O(nm)\)的转移。设\(f_{i,j}\)表示填了\(i\)个数，当前在AC自动机上编号为\(j\)的节点上的方案数（和上面的一模一样）。
发现每次从\(f_i\)转移到\(f_{i+1}\)的转移都是一样的，所以可以矩阵快速幂优化DP转移，复杂度\(O(m^3\log{n})\)
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（留坑待补。。。）