设想我们现在身处一个巨大的迷宫中，我们只能自己想办法走出去，下面是一种看上去很盲目但实际上会很有效的方法。
以当前所在位置为起点，沿着一条路向前走，当碰到岔道口时，选择其中一个岔路前进。如果选择的这个岔路前方是一条死路，就退回到这个岔道口，选择另一个岔路前进。如果岔路口存在新的岔道口，那么仍然按上面的方法枚举新岔道口的每一条岔道。这样，只要迷宫存在出口，那么这个方法一定能够找到它。
也就是说，当碰到岔道口时，总是以“深度”作为前进的关键词，不碰到死胡同就不回头，因此这种搜索的方式称为深度优先搜索（DFS）。
接下来讲解一个例子。
有 n 件物品，每件物品的重量为 w[i]，价值为 c[i]。现在需要选出若干件物品放入一个容量为 V 的背包中，使得在选入背包的物品重量和不超过容量 V 的前提下，让背包中物品的价值之和最大，求最大价值。(1≤n≤20)
在这个问题中，对每件物品都有选或者不选两种选择，而这就是所谓的“岔道口”。那么什么是“死胡同”呢？题目要求选择的物品重量总和不能超过 V，因此一旦选择的物品重量总和超过 V，就会到达“死胡同”，需要返回最近的“岔道口”。
DFS 函数的参数中必须记录当前处理的物品编号 index，和在处理当前物品之前，已选物品的总重量 sumW 与 总价值 sumC。于是 DFS 函数如下：
void DFS(int index, int sumW, int sumC) {...}
思路：
- 如果选择不放入 index 号物品，那么 sumW 与 sumC 就将不变，接下来处理 index+1 号物品，即前往 DFS(index+1, sumW, sumC) 这条分支；
- 如果选择放入 index 号物品，那么 sumW=sumW+w[index], sumC=sumC+c[index]，接着处理 index+1 号物品，即前往 DFS(index+1, sumW+w[index], sumC+c[index]) 这条分支；
- 一旦 index 增长到了 n，则说明已经把 n 件物品处理完毕。此时记录的 sumW 和 sumC 就是所选物品的总重量和总价值。如果 sumW 不超过 V 且 sumC 大于记录的最大总价值 maxValue，就说明当前的这种选择方案可以得到更大的价值，于是用 sumC 更新 maxValue。
代码如下：
1 /* 2 搜索_DFS 3 有 n 件物品，每件物品的重量为 w[i]，价值为 c[i]。现在需要选出若干件物品 4 放入一个容量为 V 的背包中，使得在选入背包的物品重量和不超过容量 V 的前提下， 5 让背包中物品的价值之和最大，求最大价值。(1≤n≤20) 6 */ 7 8 #include <stdio.h> 9 #include <string.h> 10 #include <math.h> 11 #include <stdlib.h> 12 #include <time.h> 13 #include <stdbool.h> 14 15 #define maxn 30 16 int n, V, maxValue; // 物品减数，背包容量，最大价值 17 int w[maxn], c[maxn]; // 每件物品的重量，价值 18 19 // index 当前处理的物品编号，sumW 和 sumC 为当前总重量和总价值 20 void DFS(int index, int sumW, int sumC) { 21 if(index == n) { // 已经把 n 件物品处理完毕(死胡同） 22 if(sumW <= V && sumC > maxValue) { 23 maxValue = sumC; // 有更好的选择 24 } 25 return; 26 } 27 // 岔道口 28 DFS(index+1, sumW, sumC); // 不选 Index 号物品 29 DFS(index+1, sumW+w[index], sumC+c[index]); // 选 index 号物品 30 } 31 32 int main() { 33 scanf("%d %d", &n, &V); 34 int i; 35 for(i=0; i<n; ++i) { 36 scanf("%d", &w[i]); // 每件物品的重量 37 } 38 for(i=0; i<n; ++i) { 39 scanf("%d", &c[i]); // 每件物品的价值 40 } 41 DFS(0, 0, 0); 42 printf("%d\n", maxValue); 43 44 return 0; 45 }
在上述代码中，总是把 n 件物品的选择全部确定之后才去更新最大价值，但是事实上忽视了背包容量不超过 V 这个特点。也就是说，完全可以把对 sumW 的判断加入“岔道口”中，只有当 sumW ≤ V 时才进入岔道，这样效率会高很多。代码如下：
1 // index 当前处理的物品编号，sumW 和 sumC 为当前总重量和总价值 2 void DFS1(int index, int sumW, int sumC) { 3 if(index == n) { // 已经把 n 件物品处理完毕(死胡同） 4 return; 5 } 6 // 岔道口 7 DFS(index+1, sumW, sumC); // 不选 Index 号物品 8 // 只有加入 index 物品后总重量小于 V 才可以继续 9 if(sumW + w[index] <= V) { 10 if(sumC + c[index] > maxValue) { 11 maxValue = sumC + c[index]; 12 } 13 DFS(index+1, sumW+w[index], sumC+c[index]); // 选 Index 号物品 14 } 15 }
再来看另外一个问题。
给定 N 个整数（可能有负数），从中选择 K 个数，使得这 K 个数之和恰好等于一个给定的整数 X；如果有多种方案，选择它们中元素平方和最大的一个。
与之前的问题类似，此处仍然需要记录当前处理的整数编号 index；由于要求恰好选择 K 个数，因此需要一个参数 nowK 来记录当前已经选择的数的个数；另外，还需要参数 sum 和 sumSqu 分别记录当前已选整数之和与平方和。于是 DFS 函数如下：
void DFS(int index, int nowK, int sum, int sumSqu) {...}
思路：
- 需要一个数组 temp，用以存放当前选择的整数。
- 当试图进入“选 index 号数”这条分支时，就把 A[index] 加入 temp 中；
- 当这条分支结束时，就还原 temp 数组，使他不影响“不选 index 号数”这条分支。
- 如果当前已选择了 K 个数，且这 K 个数之和恰为 x 时，就将平方和与已有的最大平方和 maxValue 作比较，如果更大，更新 maxValue 和数组 ans。
代码如下：
1 /* 2 DFS_N个整数选K个 3 给定 N 个整数（可能有负数），从中选择 K 个数，使得这 K 个数之和 4 恰好等于一个给定的整数 X；如果有多种方案，选择它们中元素平方和最大的一个。 5 */ 6 7 #include <stdio.h> 8 #include <string.h> 9 #include <math.h> 10 #include <stdlib.h> 11 #include <time.h> 12 #include <stdbool.h> 13 14 #define maxn 30 15 // 序列A中n个数选k个数使得和为x，最大平方和为maxSumSqu 16 int n, k, x, maxSumSqu=-1, A[maxn]; 17 int temp[maxn]={0}, ans[maxn]={0}; // 临时方案，平方和最大的方案 18 19 void DFS(int index, int nowK, int sum, int sumSqu) { 20 if(nowK == k && sum == x) { // 找到K个数和为x 21 if(sumSqu > maxSumSqu) { // 更优方案 22 maxSumSqu = sumSqu; // 更新 maxValue 和数组 ans 23 int i; 24 for(i=0; i<k; ++i) { 25 ans[i] = temp[i]; 26 } 27 } 28 } 29 // 已经处理完n个数，选择超过k个数，和大于x 30 if(index==n || nowK>k || sum>x) return; 31 // 选 index 号数 32 temp[nowK] = A[index]; 33 DFS(index+1, nowK+1, sum+A[index], sumSqu+A[index]*A[index]); 34 temp[nowK] = 0; 35 // 不选 index 号数 36 DFS(index+1, nowK, sum, sumSqu); 37 } 38 39 int main() { 40 scanf("%d %d %d", &n, &k, &x); 41 int i; 42 for(i=0; i<n; ++i) { 43 scanf("%d", &A[i]); // n个数 44 } 45 DFS(0, 0, 0, 0); 46 for(i=0; i<k; ++i) { // 最优方案 47 printf("%d ", ans[i]); 48 } 49 printf("%d\n", maxSumSqu); // 最优方案的平方和 50 51 return 0; 52 }
