对于背包问题算法的理解
01背包：
算是模板的代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int dp[1005]; int weight[1005]; int value[1005];int main() { int n,m; cin>>n>>m; memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1; i<=n; i++) cin>>value[i]>>weight[i]; for(int i=1; i<=n; i++)// 对每个数判断，可反 { for(int j=m; j>=weight[i]; j--)// 这里这个循环定死，不能反, 反了就是完全背包 { dp[j]=max(dp[j],(dp[j-weight[i]]+value[i]));// 不断在判断最优解 } } for(int i=0;i<=m;i++) cout<<dp[i]<<" "; cout<<endl; cout<<dp[m]<<endl; return 0; }
其本质是遍历每一个物品，从满重量到该物品的重量，寻找当前最优解（max(dp[j],dp[j-weight[i]+value[i])（分别对应选和不选））对于遍历到每一个物品，dp[j]都是j重量下的最优解，然后不断更新dp数组，最后得出全局最优解。
规定从 m 开始循环，保证了选择这个物品时，肯定不会重复使用状态。
完全背包：
算是模板的代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int value[1005]; int weight[1005]; int dp[10005]; int main() { int m,n; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>value[i]>>weight[i]; memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=0;j<=m;j++) if(j>=weight[i]) dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]); } cout<<dp[m]<<endl; }
与01背包不同，完全背包物品可以无限选用。所以j变量从小到大变化可以保证每件物品均可无限选用（用一组简单的数据测试便可理解），每次求最优值，最后得出全局最优值。
多重背包：
多重背包可以分解成01背包和完全背包的组合。
如果全部选择某一物品宣曼后仍然有剩余，则可以看做该物品可以无限选取；
如果不能看做无限选取，则可以看做一些相同的01背包的组合；
用二进制分解优化后的代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1005; int dp[N]; int c[N],w[N],num[N]; int n,m; void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数 { for(int i=n; i>=cost; i--) dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight); } void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数 { for(int i=cost; i<=n; i++) dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight); } int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包 { memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品 { if(num[i]*c[i] > m) Complete_Pack(c[i],w[i],m); //如果全装进去已经超了重量，相当于这个物品就是无限的 //因为是取不光的。那么就用完全背包去套 else { int k = 1; //取得光的话，去遍历每种取法 //这里用到是二进制思想，降低了复杂度 //为什么呢，因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品，打包成一个大型的该物品 //这样足够凑出了从0-k个该物品取法 //把复杂度从k变成了logk //如k=11，则有1,2,4,4，足够凑出0-11个该物品的取法 while(k < num[i]) { ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m); num[i] -= k; k <<= 1; } ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m); } } return dp[m]; } int main() { int t; cin>>t; while(t--) { cin>>m>>n; for(int i=1; i<=n; i++) cin>>c[i]>>w[i]>>num[i]; cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl; } return 0; }
