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Description
给定一个有 \(n\) 个点和 \(m\) 条边的无向图，其中每一条边 \(e_i\) 都有一个权值记为 \(w_i\) 。
对于给出的两个点 \(a\) 和 \(b\) ，求一条 \(a\) 到 \(b\) 的路径，使得路径上的边权的 \(OR\)（位或）和最小，输出这个值。(也就是说，如果将路径看做边的集合 \(\{e_1,e_2,…,e_k\}\)，那么这条路径的代价为 \(w_1\ OR\ w_2\ OR\ …\ OR\ w_k\)，现在求一条路径使得其代价最小，输出这个代价。如果不存在这样的路径，输出 \(-1\)。
Input
Easy
\(2\le n \le 10^4, 0 \le m \le 10^6, 0 \le c_i \le 2^{62}-1\)
Hard
\(2\le n \le 10^4, 0 \le m \le 10^6, 0 \le c_i \le 2^{62}-1\)
题解 By zerol
Easy
\(dp[u][k]\) 表示到结点 \(u\) 的代价为 \(k\) 的方案是否存在，然后在图上转移（dfs 一下就好了）。
Hard
假设答案的二进制位全是 \(1\)，然后从高位到低位考虑，如果将该位置为 \(0\) 不破坏连通性的话就置为 \(0\)，这样肯定最优。
判断连通性可以用 并查集 或者 搜索，反正 \(O(M)\) 就行。
复杂度 \(O(63M)\) 。
对比
稍微回顾一下之前的 bzoj 2115 [Wc2011] Xor 路径最大异或和 线性基
共同点：从高位向低位做，判断当前位能否置为1或0（毕竟都是位运算）
不同点：
Xor那道题是预处理出来一条路径，以及所有可以补充于其上的路径。所以，判断能否置为1即是看能否添加这条路径。
而这道题，因为OR运算的性质，直观想来，添加的路径越少OR和就越小。所以，判断当前位能否置为0即是通过连通性来判断。
Code
Easy
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1100
#define maxm 10010
using namespace std;
bool vis[maxn][maxn];
struct Edge { int to, ne, w; } edge[maxm << 1];
int tot, ne[maxn];
void add(int u, int v, int w) {
edge[tot] = {v, ne[u], w};
ne[u] = tot++;
}
typedef long long LL;
void dfs(int u, int ors) {
if (vis[u][ors]) return;
vis[u][ors] = true;
for (int i = ne[u]; ~i; i = edge[i].ne) {
int v = edge[i].to;
dfs(v, ors | edge[i].w);
}
}
int main() {
memset(ne, -1, sizeof ne);
int n, m;
scanf("%d%d", &n,&m);
int u, v, w;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &u,&v,&w);
add(u,v,w); add(v, u, w);
}
scanf("%d%d", &u, &v);
dfs(u, 0);
for (int i = 0; i <= 1024; ++i) {
if (vis[v][i]) { printf("%d\n", i); return 0; }
}
puts("-1");
return 0;
}
Hard
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 10010
#define maxm 1000010
using namespace std;
typedef long long LL;
vector<int> a[maxn];
struct Edge { int u, v; } edge[maxm];
void add(LL w, int id) {
int cnt = 0;
while (w) {
if (w & 1) a[cnt].push_back(id);
w >>= 1, ++cnt;
}
}
int s, t, n, m, fa[maxn], sz[maxn];
bool exc[maxm], flag[64];
int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
void unionn(int u, int v) {
u = find(u), v = find(v);
if (sz[u] < sz[v]) swap(u, v);
sz[u] += sz[v], fa[v] = u;
}
bool ok(int id) {
memset(exc, 0, sizeof exc);
for (int i = 62; i >= id; --i) {
if (!flag[i]) {
for (auto x : a[i]) exc[x] = true;
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i, sz[i] = 1;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
if (!exc[i]) unionn(edge[i].u, edge[i].v);
}
return find(s) == find(t);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n,&m);
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int u, v; LL w;
scanf("%d%d%lld", &u,&v,&w);
edge[i] = {u, v};
add(w, i);
}
scanf("%d%d", &s, &t);
if (!ok(64)) { puts("-1"); return 0; }
LL ans = 0;
for (int i = 62; i >= 0; --i) {
ans <<= 1;
if (!ok(i)) flag[i] = 1, ans |= 1;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}