A.\(CDQ\) 分治

特别基础的教程略。

\(CDQ\)分治的优缺点：
( 1 )优点：代码量少，常数极小，可以降低处理维数。
( 2 )缺点：必须离线处理。

\(CDQ\)分治与其他分治最本质的不同在于：

分治到达\([L,R]\)时，分治处理\([L,mid]\)与\([mid+1,R]\)
然后递归上来合并的时候：
只考虑 [L,mid]中元素 对 [mid+1,R] 中元素的影响

看起来这句话非常简单，但只要正真理解了这句话，也就理解了\(CDQ\)分治。
只要是满足这个原则的分治，都是可以称作\(CDQ\)分治的。
下面给出几个例子，都是为了理解这句话：

例题1:

给定长度为\(10^5\)的一个序列，有一下两种操作：
（1）type=1：x val ,把序列第x位置的元素加上val
（2）type=2：x y , 求解[x,y]元素值的和

树状数组大水题.....
如果用\(CDQ\)分治呢？(虽然非常非常没有必要).
我们把求解\([x,y]\)元素之和拆分为求前缀和\(pre[y]-pre[x-1]\)。
那么会对\(pre[x]\)产生影响的为：操作时间在其之前，修改位置\(\leq x\)的修改操作。
建立二元组\((time , x)\)，外部以time排序，然后分治。
分治时，每次以\(x\)归并排序,
合并\([L,mid]\)与\([mid+1,R]\)时，统计\([L,mid]\)有几个修改操作。
那么如果在\([mid+1,R]\)碰到了修改操作，自然此时的统计数即为答案。
注意到上面：只统计[L,mid]的修改，只计算[mid+1,R]的答案。
这就是\(CDQ\)分治的关键所在，因为这样统计可以做到不重不漏，代码见这里。

例题2：

三维偏序问题：
给定\(n\)个元素，每个元素有三个属性\(a,b,c\)。
定义\(f(i) = \sum_{i=1}^n [i!=j]\times [a_j<a_i 且 b_j<b_i 且 c_j<c_i]\)
试计算\(f(1),f(2),...f(n)\)，数据范围 \(n \leq 10^5\)。

三维偏序是\(CDQ\)分治的最经典应用。
先确定分治原则：
建立三元组\((a,b,c)\)，外部先按照\(a\)排序，消除\(a\)的影响。
然后分治内部以\(b\)为准则进行归并。此时我们保证了\(a_j<a_i\)与\(b_j<b_i\)
第三维\(c_j<c_i\)怎么办？用以\(c\)值建立权值树状数组维护即可。
具体流程为：

（1）递归处理\([L,mid]\)与[mid+1,R]；
（2）以\(b\)为准则归并，其中：
（ 2>1 ）若为\([L,mid]\)元素，将其\(c\)值插入权值树状数组
（ 2>2 ）若为\([mid+1,R]\)元素，在权值线段树中查询小于其\(c\)值的元素个数。
（3）回溯;

观察到处理时，依旧满足上面\(CDQ\)分治的特性。
如果偏序原则中为\(\leq\)即可，那么需要先去重。具体代码见这里

\(CDQ\)分治的写法

一个非常大的误区：\(CDQ\)分治一定要归并或边归并边处理。
这其实是不对的，上面说过，只要满足\(CDQ\)分治原则就可以称为\(CDQ\)分治。
所以\(CDQ\)分治的写法其实是多重多样，甚至不拘一格的。

B.CDQ分治中分治原则的确定

\(CDQ\)分治中的一个难点就是确定分治原则。
在我们分治前，我们会确定元素的分治多元组。
分治多元组的确定关键是看分治中对答案的影响因素。
下面给两个非常经典的例题：

例题3：

序列初始为空，接下来每次会在指定位置\(i\)插入一个元素\(x\)
求每次插入后，序列中的逆序对个数。
保证插入元素的值不重复，数据范围\(n \leq 10^5\)

确定三元组\((time , pos , val)\)，然后分治：
外部以\(time\)进行排序，消除\(time\)的影响。
然后内部以\(pos\)为原则进行归并，然后怎么处理呢？
考虑一下元素对答案的影响：
每次新增的点对此时答案的贡献为：
（1）插入时间比它早，位置在它前面，值比它大的元素。
（2）插入时间比它早，位置在它后面，值比它大的元素。
所以我们先以\(pos\)从小到大归并排序好。
然后从前往后正着扫一遍，
如果元素的\(time \leq mid\)，那么在树状数组中插入它的\(val\)。
如果元素的\(time > mid\)，那么在树状数组中查询大于它的\(val\)的元素个数，加入答案。
然后再从后往前倒着扫一遍，处理方法一样。
这样我们最后就得到了每加入一个元素新增的贡献数，最后统计一下答案即可。
具体代码戳我。

例题4：

给定一个大小为\(n*n\)的矩阵，初始每个格子元素都为\(0\)
一共有\(10^5\)个操作，操作如下：
（1）type=1：x y val ,把(x,y)位置的元素加上val。
（2）type=2：x1 y1 x2 y2, 查询(x1,y1)到(x2,y2)这个矩形的元素和。

貌似是上面的 例题1 的升级版....
由二维变为三维，怎么做呢？ 其实差不多。
二维前缀和之类的略，自己\(yy\)，然后：
建立三元组\((time , x , y)\)
会影响询问答案的为：操作时间早于其，x、y都小于等于它x、y的修改操作
所以外部以\(time\)排序，然后以\(x\)为原则归并。
归并的时候，如果是左边区间的修改操作，把其修改值\(val\)值插入树状数组中的\(y\)位置。
如果是右边的查询操作，查询树状数组中小于等于其\(y\)值的元素值之和。
这题做完了......

C.\(CDQ\)分治的嵌套使用

1.解决四维偏序问题：

首先我们考虑三维偏序的解决方法：
外围排序三元组变为\([L,b,c]与[R,b',c']\)，然后归并变为\([L,L,c]与[R,R,c']\)
所以此时只需要在树状数组中查询\(c\)了。
那么四维是不是类似呢？
首先外围排序，四元组变为\([L,b,c,d]与[R,b,c,d]\)
然后我们先以\(b\)为原则归并，但是并不统计答案。
此时我们要记录归并好的序列中每一个元素的\(a\)是属于\(L\)还是\(R\)。
那么此时只有\(b\)是有序的，\(a\)虽然无序但是我们记录了其来源（顺序）。
即此时的四元组为\([L/R,L,c,d]\)与\([L/R,R,c',d']\)
此时把这个新的序列带入下一层\(CDQ\)中再跑一遍，不就是三维偏序的处理吗？
但是这里注意，为了保证\(a\)的顺序，只有\([L,L,c,d]\)与\([R,R,c',d']\)的元素才是合法的。
这个也非常好解决，第一层\(CDQ\)归并时对每个元素打一个标记即可。
具体的代码见这里

2.解决N维偏序问题

这里提个醒，用嵌套\(CDQ\)解决\(N\)维偏序问题的复杂度是\(O(N\ log^{N-1}N)\)的。
其实搞懂了四维偏序的解决方法后，五维、六维....不是一样的吗？
四维时我们打了一层标记，消除了一维的影响，最终变为了三维偏序问题。
那么\(N\)维我们则先归并\(N-3\)遍，打\(N-3\)层标记。
这样一共消除了\(N-3\)维的影响，然后再跑三维偏序即可。
实现五维偏序的具体代码见这里。