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黎曼
胡作玄
(中国科学院系统科学研究所)
黎曼，G．F．B．(Riemann，Georg Friedrich Bernha－rd)1826年9月17日生于德国汉诺威的布雷斯塞伦茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡．数学．
贝恩哈德·黎曼的父亲是路德教牧师，母亲是法官的女儿，他们共有六个孩子(二男四女)，贝恩哈德排行第二．由于家庭生活困难，营养不良，导致多数子女过早死亡，他们的母亲在他们长大成人之前也去世了．
黎曼还是小孩子的时候，他的父亲就把家搬到奎克博尔恩的牧师管区去，小黎曼从他父亲那里受到入门教育，从一开始就表现出如饥似渴的学习欲望．他最早的兴趣是在波兰历史方面．刚刚5岁，就要他父亲一遍又一遍地讲述这个英雄国家的悲惨故事．大约6岁时，他开始学算术，他天生的数学才能显露出来了，他不仅解决了所有留给他的问题，而且发明更难的题来捉弄他的兄弟姐妹．10岁时，他跟着一位职业教师学习更高级的算术和几何，而学生很快超过老师，他往往得出更好的解答．14岁时，黎曼到汉诺威同他的祖母一起住，进入当地文科中学学习．两年后，他的祖母去世，黎曼又转到吕耐博格的预科中学，他在这里一直学习到19岁．
文科中学校长C．施马尔夫斯(Schmalfuss)早已观察到黎曼的数学才能，曾把自己私人藏书借给黎曼，而且允许他不去听数学课，在施马尔夫斯的建议下，黎曼借走A．M．勒让德(Legen－dre)的《数论》(Essai sur la théorie des nombres)，这是一本859页的大四开本的书．6天之后，黎曼归还了这本书．他很快掌握了该书内容，这无疑就是黎曼对于素数兴趣的来源．他还通过研究L．欧拉(Euler)的著作而掌握了微积分及其各个分支．
1846年春，19岁的黎曼在格丁根大学注册，为专修语言和神学的学生，他也去听数学及物理课程，如M．A．斯特恩(Stern)关于方程论和定积分的课，以及C．F．高斯(Gauss)关于最小二乘法和C．B．哥德什密特(Goldschmidt)关于地磁学的课．1847年春，黎曼转到柏林大学，他从C．雅可比(Jacobi)、 P．狄利克雷(Diridlet)、J．施泰纳(Steiner)、G．爱森斯坦(Eise－nstein)那里受教，而进入新的数学领域．他从这几位大师中的每一位都学到了许多东西．他从雅可比那里学习高等力学和高等代数，从狄利克雷那里学习数论和分析，从施泰纳那里学习近世几何学，而从只比他大三岁的爱森斯坦那里学到椭圆函数．他钻研了A．L．柯西(Cauchy)等人的著作，得出单复变函数以及柯西-黎曼方程的概念．黎曼在柏林上了两年大学，在1848年政治动乱之际，他参加保王的学生联合会的活动，而且参加累人的16小时轮流值班来保护王宫中惊恐不安的国王．1849年春，他回到格丁根去完成他的数学学业并准备取得博士学位．
他在格丁根大学又念了三个学期，他听哲学课并且非常有兴趣地上W．韦伯(Weber)的实验物理课．他热衷于研究J．F．赫尔巴特(Herbart)的哲学结果，并在1850年得出结论：“能够建立起一套完备的、周密的数学理论，它包括从单个质点的基本定律进而到现实连续充实的空间中我们见到的过程，不管是引力、电磁还是热学的．”这表明黎曼反对物理中“超距”作用理论而赞成场论．1850年秋天，他参加了刚刚由韦伯、G．K．J．乌尔利希(Ulrich)、斯特恩、J．B．利斯亭(Listing)建立起的数学物理学讨论班．在这个讨论班上所做的物理实验耗费了时间，耽误了他写博士论文．但是利斯亭的拓扑思想无疑对黎曼有巨大影响．利斯亭在高斯影响下于1848年出版的《拓扑学初步研究》(Vorstu－dien zur Topologie)是这方面头一部著作．1851年11月初，黎曼在高斯指导下提交他的博士论文“单复变函数一般理论基础”(Grundlagen für eine Allgemeine Theorie der 答辩取得博士学位．高斯对他博士论文的评论是“黎曼先生提交的博士论文提供了可信的证据，说明作者在他的论文中所论述的主题的大部分所进行的充分、完全和深入的研究显示一个具有创造性的、活跃的、真正数学的头脑以及了不起的富有成果的创造性．文章清楚、简洁，有的地方很漂亮，大多数读者将会喜欢这个更清楚的安排，它不仅符合博士论文所要求的各项标准，而且远远超出了它们．”
取得博士学位后，黎曼没有积极谋取格丁根现象台助手的空缺，而是进一步去取得讲师资格，为此，他计划提交一篇关于三角级数(傅里叶级数)的论文．1852年的秋天，狄利克雷来到格丁根度假，使黎曼受益不浅．他就自己的论文征求狄利克雷的意见，后来写道：“狄利克雷和我在一起谈了两个小时，他把他的笔记给了我，而这正是我准备就职论文所需要的，否则就要在图书馆花费大量时间进行艰苦的研究才能得到这些．他还和我一起通读我的论文，对我非常友好．考虑到我们之间地位的巨大差异，对此我是根本不敢想象的，我希望他以后还能记得我．”1853年，黎曼又热衷于考虑数学物理的问题，这耽误了论文的写作．一直到年底，他才完成了就职论文．
在他能够取得他所谋求的没有薪水的讲师①职位之前，他还必须通过一次试验性的演讲．他给系里提供三个题目，他原本打算希望他们选择前面两个题目中的一个，因为这两个题目他已经有所准备，但是他无意中提出了第三个题目几何学基础．这个题目是高斯已经考虑了六年之久的，而且他也没有什么准备．但高斯却指定了 ber die Hypothesen，welche der Geometrie zuGrunde liegen)不仅是数学上的一篇杰作，而且在表述上也是典范．高斯特别兴奋，他感到黎曼的结果远远超过了他的预料．在从系里的讲演会回来时，高斯向威廉、韦伯表示他对黎曼提出的思想的高度评价，在谈话时所带有的热情对高斯本人来说是十分罕见的．
1854年夏，黎曼取得讲师资格后，回奎克博恩家乡稍事休息，9月份回到了格丁根，在德国自然科学家及医师协会第31届年会上，他发表了一篇仓促准备的关于电在非导体中分布规模的讲演，同时继续他关于电的数学理论的研究，并准备一篇关于诺比里色环的论文，这是他最早发表的两篇论文．他第一次开课的题目是“偏微分方程及其在物理学上的应用”，有8个学生来听他的课，使他非常高兴．他也逐渐改变害羞的毛病，能够更好地讲课．
1855年初高斯去世，狄利克雷继承了高斯的职位．他帮黎曼获得副教授的职位而未成功，不过，黎曼可以得到200塔勒的年薪．1857年，他终于获得副教授的职位，年薪300塔勒．1859年5月，狄利克雷去世，他成了狄利克雷的继任者，经济状况才有改善．
1855—1856年冬季学期，黎曼开了一门全新的阿贝尔函数论课程，听讲者只有三位，其中之一是R．戴德金(Dedekind)．1857年，他发表了关于阿贝尔函数的论文．大约同时，他又发表了关于超几何级数的论文．他在1856—1857年冬季学期开的复变函数论课程中也涉及超几何级数，特别是常微分方程的所谓黎曼-希尔伯特问题．1859年8月，他被选为柏林科学院通讯院士，9月份同戴德金一起去柏林，受到K．魏尔斯特拉斯(Weiers-trass)等人的热情接待．10月份，他把关于ζ函数的数论论文提交柏林科学院，11月在格丁根科学会上宣读了关于空气柱中不连续波的传播的论文，12月被格丁根科学会接纳为正式会员(相当于后来科学院院士)．1860年复活节假期，黎曼到巴黎访问一个月，受到法国数学家C．埃尔米特(Hermite)的友好接待．当时巴黎科学院已设置大奖(1858)，提出问题是有关热传导的．为此，黎曼继续他1854年演讲的研究，对黎曼几何学进一步加以发展．1861年6月，他写成拉丁文论文呈交巴黎科学院，但是他的文章过于简略，没有把必要的计算完全写出来，因此没有得奖(也没有人获奖，巴黎科学院于1868年撤消了这个大奖)．
1862年，36岁的黎曼结婚了．他的妻子爱丽丝·科赫(EliseKoch)是他妹妹的朋友．婚后不到一个月，黎曼在1862年7月得了肋膜炎，由于康复不完全，结果导致肺结核．他的有影响的朋友劝说政府给他一笔钱，让他到意大利的温和气候中休养，于是他到意大利过了这个冬天．第二年春天，在他返回德国的旅程中，他对他访问过的许多意大利城市的艺术宝藏非常喜爱．他离开意大利时充满了希望，可是到达格丁根时，他的病情更加严重了，因为他在回来的旅程中注意不够，穿过史普吕根山隘的厚厚的积雪时受了风寒．第二年(1863年)8月，他回到意大利，先在比萨停留，他的女儿伊达(lda)出生了．这年冬天格外寒冷，阿诺河也结了冰．5月份，他移居到比萨郊外的一个小镇上，在这儿，他的妹妹海伦(Helene)去世，他自己的病由于合并黄疸症而发展得越来越严重．使他非常遗憾的是，他不得不拒绝比萨大学提供给他的教授职务．格丁根大学慷慨地延长他的休假期，以使他能在比萨渡过下一个冬天．在比萨，他被意大利的数学界朋友所包围，实际上意大利数学家E．贝蒂(Betti)、F．布廖斯奇(Brioschi)及F．卡索拉蒂(Casorati)在1858年访问格丁根时就结识了黎曼，在黎曼等人的影响下，意大利现代数学得到了复兴．不过黎曼病情进一步恶化，他非常想家．在莱格豪恩和热那亚谋求恢复健康未成之后，他在10月份回到了格丁根，在那里渡过了冬季．这段时期，一旦体力许可，他就进行研究工作．1865年，他 derTheta－Functionen)．为了做恢复健康的最后努力，他回到意大利，他的最后的日子是在大湖畔的谢拉斯卡别墅中度过的．死后他被安葬在比甘左勒公墓．
去世之前，黎曼又得到一系列荣誉．1866年3月他被选为柏林科学院国外院士(因当时德国尚未统一，柏林科学院属于普鲁士王国，而黎曼所在的格丁根属汉诺威王国)，同时被选为巴黎科学院通讯院士，1866年7月14日被选为英国皇家学会国外会员．
黎曼的著作不多，生前除了博士论文之外，只发表了10篇论文．他去世之后，戴德金接手他的全集编辑工作，戴德金在1868年发表了黎曼就职演说、就职论文等3篇文章．连同另外4篇共18篇论文是他正式发表的全部论文．这18篇论文同12篇遗稿由戴德金及H．韦伯(Weber)编辑，作为《黎曼全集》(BernhardRiemann’s Gesammelte Mathematische Werke und Wissenscha－ftlicherNachlass)于1876年出版，后加进一些遗稿并补充一些遗稿内容于1892年再版．1902年，M．诺特(Noether)和W．威廷格(Wirtinger)编辑出版《黎曼全集，附录》(Gesammelte
1892年版及1902年版合订本于1953年再版．1990年，R．纳拉西姆汉(Narasimhan)编辑《黎曼全集》最新版本，除了1892年及1902年版全部内容外，还加进新材料及十几篇研究论文及资料．黎曼讲课笔记已有多种出版，但有的很难说是黎曼讲课的忠实记录。
黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分成八个领域来论述．前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识地将实域过渡到复域，开创了复变函数论，代数函数论、常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论、三角级数论、微分几何学、数学物理方程等方面取得重大突破．重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法、一般流形概念、联系拓扑与分析的黎曼-洛赫定理、代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他触发了现代数学的革命性变革．
一、复变函数论
黎曼与柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人．但他们的出发点及研究方向各有不同：柯西代表分析方向，黎曼代表几何方向，魏尔斯特拉斯代表函数论方向．在黎曼发表他的博士论文之前，柯西已对复变函数论进行了30年之久的研究，他已得出复变函数的合理定义，得出柯西-黎曼方程，还发现了复变函数的积分，并得出其积分定理，得出留数、柯西积分公式以及幂级数展开式．他和他的后继者对于多值函数也有所涉及，但柯西并不太理解多值函数，他甚至对极点与支点的区别也不太清楚．他遗留下的这个领域正是黎曼发挥他的创造性的地方．
1．通过复变函数的导数定义，建立复变函数论的基础
黎曼给单值解析函数下了一个严格的定义：他定义
w=f(z)=u+iv
在一点及其邻域内解析，如u，v连续可微并满足
这就是后来所说的柯西-黎曼方程．这个方程以前也出现过，但黎曼第一 趋向于z的每一条途径都相同．
2．对多值函数定义黎曼曲面
这是黎曼最重要的创造之一．对于复平面的区域，他定义分歧覆盖曲面，使得对于多值函数f(z，w)=0，z的每一个值，如果有n个w值同它对应，就引进z平面上n叶覆盖曲面，每一叶对应w值的一个分支．而且在每一叶上都引进一个点对应z=∞．但是这n叶覆盖曲面并非彼此无关地重叠在z平面之上，而是在w取值相同的点(称为支点)z处相重合成一点，这样就得到多值函数f(z，w)=0的黎曼曲面，它的本质在于如果z在函数f(z，w)=0的黎曼曲面(即在某些点相重的n叶覆盖曲面的集合)上变动时，w成为z的单值函数．说到底，黎曼曲面即多值函数的单值化曲面．为了更好地描述函数值的变动情况，黎曼引进分支截线的概念，分支截线是连接两个支点的连线．当z穿过某一个分支截线时，w值就从一个分支变到另一个分支，于是黎曼曲面的各叶通过分支截线相互连接在一起．有了黎曼曲面，单值函数的某些定理就可以推广到多值函数，黎曼就这样推广柯西积分定理，不过他假定函数的解析区域在黎曼曲面上是单连通的．
3．黎曼曲面的拓扑
黎曼是第一个研究曲面拓扑的人，他引进横剖线的方法来研究曲面的连通性质．对于具有边界的曲面，横剖线是两端点落在边界上的不自交曲线(对于闭曲面情形，它就退化为一条简单闭曲线)．对于平面或球面，任意闭曲线可以把它分成两部分，我们称为单连通曲面．对于非单连通曲面，需要用一些横剖线把它分开，它才能成为单连通曲面．黎曼定义连通数(他称为基数 Gruad－zahl)来刻划连通性．一个曲面称为N连通的或连通数为N，如果能用适当的N—1条横剖线把它变成一个单连通曲面．黎曼建立了黎曼曲面的支点数目与连通数之间的关系：设黎曼曲面的支点为r1，…，rr，在ri处有wi叶相重，整个曲面有q叶，则连通数
4．黎曼曲面上的函数论
黎曼研究的基本问题是黎曼曲面上函数的存在性及唯一性问题．他比以前数学家的先进之处在于，函数的存在不必通过构造出解析表达式来证明，函数可以通过其奇点来定义，这对后世数学有重要影响．关于黎曼曲面上的函数论，他首先对单连通区域“证明”两个基本定理：
(1)如果一个函数u(x，y)在区域Ω内是调和函数，即满足拉普拉斯方程
则u具有所有阶导数且是一个解析函数f(z)的实部．
(2)黎曼在1851年论文末尾宣布所谓黎曼映射定理：两个给定的单连通区域(包括黎曼面上的单连通区域)可以一对一地保形地相互映射，一个区域的一个内点和一个边界点可以映射到另一个区域上任意选取的一个内点和一个边界点上．
5．狄利克雷原理
黎曼给出其证明并有效地表述及运用狄利克雷原理，这个原理是他从狄利克雷的课程中学来的．在他之前，高斯、G．格林(Green)及W．汤姆逊(Thomson，即后来凯尔文勋爵(LordKelvin)也用过，其中断言，如果积分
有极小值，则存在一个函数u，使该积分达到极小．但魏尔斯特拉斯对此原理产生过怀疑．F．克莱因(Klein)评论说：“黎曼有着完全不同的意见，他完全认识到魏尔斯特拉斯批评的正确性及合理性，但是他说过，正如有一次魏尔斯特拉斯曾告诉我那样，他用狄利克雷原理只是因为它是手头好使的、方便的工具，他还说，他的存在定理仍是正确的．”历史的确证明了黎曼的数学直观的天才是多么惊人．
二、阿贝尔函数论
关于阿贝尔函数，黎曼发表过两篇文章：一是“阿贝尔函数论”
das Verschwinden der The taFunktionen)，这是前一篇的续篇．前一篇由四部分构成，是他生前发表最深刻的、有丰富内容的著作．
阿贝尔积分及阿贝尔函数是椭圆积分、超椭圆积分以及椭圆函数、超椭圆函数的推广，所谓阿贝尔积分是指形如
∫R(W，Z)dZ
的积分，其中R(W，Z)表示W，Z的有理函数，同时W，Z满足代数方程f(W，Z)=0．虽然椭圆积分及超椭圆情形已经得到很好的处理，但是一般情形是对当时数学家能力的试金石．正因为如此，黎曼和魏尔斯特拉斯才由于他们研究阿贝尔函数的卓越成果而取得他们在数学界的卓越地位．黎曼正是因为有了黎曼曲面这个工具，才能得心应手解决这方面的问题．
1．阿贝尔积分的表示及分类
黎曼对由f(Z，W)=0定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行了分类．
第一类阿贝尔积分，在黎曼曲面上处处有界．线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p，如果曲面的连通数N=2p+1，这p个阿贝尔积分称为基本积分．
第二类阿贝尔积分，在黎曼曲面上以有限多点为极点．
第三类阿贝尔积分，在黎曼曲面上具有对数奇点．
每一个阿贝尔积分均为以上三类积分的和．
黎曼还引进相伴曲面观念．设黎曼面由F(S，Z)=0定义，F对S是n阶，对Z是m阶，则相伴曲面由Q(S，Z)=0定义，Q对S是n-2阶，对Z是m-2阶，这时第一类阿贝尔积分可表为
黎曼面上的有理函数也可借助相伴曲面来表示．
2．黎曼-洛赫定理
这是代数函数论及代数几何学最重要的定理．黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼-洛赫定理的原始形态，黎曼研究的出发点之一是黎曼面上指定单极点的亚纯函数的数目，他证明以μ个给定一般点为极点的单值函数形成μ-P＋1维线性簇，但对于特殊一组m个点，维数L还要增加，因此黎曼得出黎曼不等式
L≥μ-p+1．
黎曼的学生G．洛赫(Roch)补充一项使之成为等式，此即代数函数论及代数几何学中心定理．把黎曼-洛赫定理推广到代数曲面已极为困难．1954年，F．赫采布鲁赫(Hirzebruch)将它推广到一般代数簇，其后A．格罗登迪克(Grothendieck)进一步推广，阿蒂亚-辛格指标定理也是它的推广．
3．黎曼矩阵、黎曼点集与阿贝尔函数
每亏格为p的黎曼面X上所有一阶全纯形式有一基。ω1，…，ωp，X上有2p条互不同伦的闭曲线(同调基)r1，…，r2p，造2j个复p维向量
雅可比簇，黎曼通过适当选取(ω1，…，ωp)及(r1，…，r2p)使2p×p矩阵
其中I为p×p单位矩阵，B为复对称矩阵，其虚部为正定．这种矩阵П或B称为黎曼矩阵．它满足黎曼等式及黎曼不等式，称为黎曼周期关系．黎曼认识到周期关系是非退化阿贝尔函数存在的充分且必要条件，但他既没有表达完全，也没有提供证明．魏尔斯特拉斯尽管化了很大力气，仍未能得出一个完全证明．最后H．庞加莱(Poincaré)完成了证明(1902)．
4．θ函数及雅可比反演问题
为了研究雅可比簇，黎曼推广雅可比θ函数，引进黎曼θ函数，其定义为g个复变量z1，…，zp的函数
其中B=(bαβ)，α，β=1，…，p．显然，θ(z)的零点对格子间的平移保持不变．θ(z)的零点集在J(x)内的象Θ称为θ除子．
有了θ函数，黎曼定义阿贝尔-雅可比映射
A∶X→J(X)．
下面两个定理．
(1)阿贝尔定理：在黎曼面上指定两组点集(x1，…，xk)，(y1，…，yk)，xi≠yj，i，j=1，…k，则在x上存在一个亚纯函数以(x1，…，xk)为零点，以(y1，…，yn)为极点的充分必要条件是
阿贝尔原来的定理是关于代数微分的积分的加法定理，黎曼首先认识到它与亚纯函数的关系．
且X1，…，Xp为X上θ(A(x)-e)的零点，则
其中K是不依赖于e的常数，且(x1，…，xp)除顺序之外是唯一的．雅可比反演问题是19世纪最重要问题之一，除了椭圆积分及超椭圆积分情形之外，一直未获解决．魏尔斯特拉斯在1856年解决该问题，但全文一直到1902年才发表．
黎曼晚年的一个成就是证明p=3情形的托雷里(Torelli)定理，即(J(X)，Θ)决定X．为此他把θ函数推广成具有特征的θ函数．利用这种广义θ函数及其导数在0点的值即所谓θ常数，就可以定出亏格为p的黎曼面所依赖的参数．
5．双有理变换的概念和参模
黎曼对于由两个代数函数F(s，z)=0，F1(s1，z1)=0定义的黎曼面，引进了一个等价关系，即双有理等价，也就是通过(s，z)与(s1，z1)之间的有理函数一一对应，使F变到F1或F1变到F．以后的代数几何学，研究双有理不变量及双有理等价类成为中心课题。对于平面代数曲线，黎曼提出描述亏格为p的双有理等价类集合的问题．黎曼通过v函数推出p＞1时这集合依赖于3p－3个任意复常数，他称这些常数为“类模”(Klassenmoduln)，后简称为模或参模(Moduli)，当参模是“一般的”(即不满足特殊条件)时，黎曼给出该参模等价类中定义方程F(s，z)=0的最小阶数．关于参模的结构的研究是现代数学的热门话题．
三、超几何级数与常微分方程
黎曼在1857年的论文中把超几何级数称为高斯级数．超几何级数最早是欧拉在他的《积分学原理》第二卷(1769)给出的．他研究超几何方程
并给出其级数解
他称之为超几何级数．他在其他论文中还给出其积分表示和一些关系式．高斯在1812年的论文中把y记作F(α，β，γ； x)，他认识到超几何级数几乎包含天文学计算中用到的所有微扰展开式，特别包含贝塞尔函数、勒让德(球)函数为其特例．高斯证明超几何级数的收敛性，建立了一些关系式．E．E库默尔(Kummer)在1836年进一步得出超几何级数许多性质及关系式．黎曼的成就在于他把超几何级数及超几何微分方程由实域扩充到复域，并且避开研究函数必需用其具体表达式来计算的传统而用公理的方法得出高斯、库默尔等人通过繁复计算才得出的关系式．他最重要的成就在于把复变函数论引进常微分方程而预示微分方程的解析理论．他的具体作法是引进复值函数P函数
它满足三个条件：(1)除了a，b，c之外，P是x的有限单值函数；
在x=a处仍是单值，且既≠0，也≠∞，同样，P之数可表为
分别在x=b，x=c具有类似性质，且6个量α，β，γ，α′β′，γ′满足下面两个条件：①差α-α′，β-β′，γ-γ′均非整数；②α＋ β+γ+α′＋β′+γ′=1．
黎曼在1857年2月写的一篇遗稿(1876年发表)“具有代数系数 lineare Differential gleichungen mit algebraischen Coefficienten)中，引进了单值变换(Monodromy)．这思想在黎曼关于高斯级数的论文中已见端倪．高斯知道，超几何微分方程有3个奇点0，1，α，它作为二阶微分方程有两个独立特解y1和y2，其他解均为这两解的线性组合．黎曼的思想是当y1，y2沿绕奇点的路径变化时必经历线性变换
对于所有绕奇点的路径，这些变换组成群．他证明对于超几何微分方程，单值群的性质可完全决定群函数的性质．在遗稿中，他把结果推广到m个奇点n个独立函数的情形，他证明给定线性变换后，这n个独立函数满足一个n阶线性微分方程，但他没有证明这些奇点(支点)和这些变换可以任意选取，从而留下了著名的黎曼问题．希尔伯特把它列入23个问题中的第21问题，从而被称为黎曼-希尔伯特问题．在一些肯定情形解决之后，1992年，俄国数学家通过反例宣布这个问题已被否定解决．
四、解析数论
黎曼是现代意义下解析数论的奠基者，生前他只在1859年发表过一
猜想有渐近公式
黎曼并没有证明素数定理，甚至连提也没有提到它．黎曼的目标是具体求出π(x)或者更确切地说，与π(x)密切相关的函数ζ(s)的无穷级数的明显表示．黎曼第一个指出要解决这个问题，首先要研究作为复变量s=σ+it的ζ函数，特别是它的零点的分布，欧拉在征明素数无穷多时已经得出过实变量的ζ函数
黎曼把ζ函数由实变量过渡到复变量，并证明：(1)ζ(s)是s的解析函数，除了在s=1处有一个单极点之外，在全平面正则；(2)ζ(s)满足函数方程
(3)ζ(s)在s=-2，-4，-6，…处有零点，且除了s的实部属于［0，1]的带状区域时可能有复零点外，没有其他的零点．
黎曼在论文中指出6个猜想：
(1)他断言，ζ(s)有无穷多个复零点，全都位于临界带状区域0≤σ≤1上．
(2)设ζ(s)在矩形0≤σ≤1，0≤t≤T间，零点的数目为N(T)，他用简单的复变函数论推断当T→∞时，N(T)近似等于
(3)他定义复变函数
(4)他简单证明ξ(s)的乘积公式
完全的．
常所说的黎曼猜想．
(6)黎曼在论文的后半部得出π(x)与ζ(s)关系的公式，即
通过黎曼的工作及他的猜想，ζ(s)在解析数论中处于中心的地位．1859年，黎曼在给魏尔斯特拉斯的信中提到ζ(s)在临界带上的另外一种表示，C．L．西格尔(Siegel)追查这个表示的下落，在格丁根图书馆手稿部发现黎曼的一个不完全的手稿．西格尔对它进行了仔细的研究，得出所谓黎曼-西格尔公式，它大致是把Re(s)＞1的级数部分同Re(s)＜0的函数方程所得出的表示部分结合在一起，给出ζ(s)在临界带的较好的渐近表示．黎曼给出误差的完全渐近展开，还作了许多数值计算．但西格尔工作发表时，G．哈代(Hardy)及J．李特尔伍德(Littlewood)于1921年已发表了类似的结果并给出误差项的上界，这说明黎曼方法对求临界带上ζ函数的行为很重要．
五、实分析——函数观念、黎曼积分、傅里叶级数、连续
不可微函数
数学分析的许多进展是与傅里叶级数分不开的．黎曼在他的就职论 Funktion durch einer trigonometrische Reihe)中，对傅里叶级数的历史作了回顾．J．傅里叶(Fourier)在他的《热的解析理论》(Théorie analytique de la Chuleur，1822)中指出，任意的(有界)在(-π，π)上定义的函数可以展开成形如
的三角级数，其中
但是傅里叶对于函数、积分的概念十分模糊，更没有收敛的观念．狄利克雷在1829年的论文中第一次给出给定函数f(x)的傅里叶级数收敛并且收敛到f(x)本身的充分条件，从而给傅里叶分析奠定严格基础．他还第一次给出严格的函数概念．黎曼在讨论狄利克雷的论文之后，提出：(1)更进一步扩充函数的观念；(2)对于更一般的函数建立可积性理论；(3)建立f(x)的傅里叶级数收敛到f(x)的充分且必要条件。为此，黎曼得出函数是实数集之间的任意对应这个现代定义，并且对函数定义黎曼可积性，把可积函数从连续函数扩大到在有限区间内具有无穷多个间断点的函数．他给出两个黎曼可积性的充分必要条件：一个是f(x)的振幅大于给定数λ的区间总长度并随各区间长度趋于零而趋于零，另一个是定义各区间的上和及下和
S=M1△X1+…+Mn△Xn，
S=m1△X1+…+mn△Xn．
Mi及mi分别是区间△Xi上f(x)最大值及最小值，令Di=Mi-mi，则f(x)黎曼可积的充要条件对于△xi的一切选法都有
黎曼积分虽然后来为H．勒贝格(Lebesgue)所发展，但黎曼积分仍是数学特别是物理应用的主要分析工具．有了更一般的函数及其黎曼可积性的观念，黎曼进一步发展了傅里叶级数理论，他刻画可用三角级数表示的函数如下：
令
为三角级数，满足当n→∞时，an，bn→0．把(T)形式积分两次，得出连续函数
其中α，β为实常数．记
黎曼得出：
(1)(可表性定理)如果级数(T)在点x收敛，则
存在且在x处等于(T)的和．
(2)无需任何收敛性假定，有
(3)(局域性定理)三角级数(T)在一个区间I上的收敛性与发散性只依赖于F在I上的值．实际上，G．康托尔(Cantor)还从黎曼的结果中看出唯一性定理：如果三角级数(T)对于每一x∈［0，2π］收敛于 0，则(T)恒等于0，即an=0(n≥0)，bn=0(n≥1)．通过这个定理，康托尔得出唯一性集并进而建立点集论．
除此之外，黎曼是最早认识到连续性及可微性的区别的数学家之一，他在上述论文末尾造出一个在任意小区间上都有无穷个点没有导数的连续函数．他的例子如下：设(x)为x与它最接近的整数之差，当x是两整数的中点时，令(x)=0，因此
他定义
则f(x)对所有x值收敛且可积．F(x)=∫f(x)dx对一切x连续，但在f(x)的间断点上不可导．
魏尔斯特拉斯在讲课中提到，黎曼在1860年授课时给出过一个处处不可微的连续函数的例子，即
但他讲他不知道黎曼是否肯定这函数处处不可微或是在某些点可微．实际上，有人在1970年证明这函数在π的某些有理倍数的点可微．也许魏尔斯特拉斯已知道这一点，因此，魏尔斯特拉斯头一个给出真正处处不可微连续函数的例子
六、几何学
黎曼的空间观念使数学及物理学发生空前的变革．但是这种先进的思想一直到半个多世纪之后才逐渐变得明显起来．黎曼的几何论文有两篇，一篇是他的授课资格的演讲，另一篇是所谓“巴黎之作”，即“论 的思想后来为许多数学家所发展．
1．黎曼的空间观念
黎曼的演讲是面对整个哲学系的教师的，为了使听众理解，整个讲演充满哲学味道，只有一个数学公式．黎曼在讲演中提到他受到两方面的影响：一是高斯关于曲面的研究，一是赫尔巴特的哲学思想．全文分三大部分，第一部分是n维流形的观念，第二部分是n维流形的测度关系，第三部分是对空间的应用．
黎曼首先引进n维流形的概念．他的n维流形实际上是n重延量．他把流形的部分称为量子(Quanta)，把流形分为连续流形与离散流形．他的重要思想是把连续流形的理论分为两类，一类只涉及区域关系，另一类涉及大小关系，用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论．康德认为空间是先验的概念，黎曼不同意这种观点，他认为如果空间是先验的，那也只是空间的拓扑部分，至于空间的度量必需由经验确定．黎曼提到空间的构造，他的造法与现代不同，他造的n＋1维流形是通过n维流形同1维流形递归地构造出来的．反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成．
黎曼的空间观念发展了高斯内蕴几何学的思想，流形不依赖于外围空间．它本身可以是弯曲的，因此每一点在该空间中的局部不一定相同，为了刻画局部度量，黎曼选择最简单的度量
其中｜gij｜是正定对称二次型，具有这种度量的流形或空间，后来称为黎曼流形或黎曼空间．但黎曼指出，高阶度量也是容许的，因此，他在某种意义下预示了芬斯拉空间．如果流形的线元
的曲率给定之后，这流形的度量关系就完全确定了．假如每点，每一方向上曲率都等于α，那么这个常曲率流形的线元可表示为
这就是黎曼在就职演说中的唯一公式．当常曲率流形曲率为0时，便得出平坦流形，即与欧氏空间局部等度量。
黎曼就职演说第三部分涉及我们所在的三维空间，实际上是三维流形．首先，他给出空间局部欧氏的三个条件．由于空间即使是局部欧氏的(平坦的)，我们也可以赋予它不同的度量，因此不可能期望只从拓扑的考虑中得出欧氏平行定理．空间的度量必需由实验来确定．他认为天文学将判定哪种几何学适合我们这个物理空间．数学家所能作的只是分析我们的基础假定是什么．黎曼还明确指出空间的无界性(封闭性)与无限性的区别，而且空间的无界性比起我们对外在世界的其他经验有着更大的确定性．他的文章最后说，作为现实基础的空间或者是离散流形，或者是连续流形，如果这样，度量关系的基础必需从外界通过作用其上的结合力得到，判别这点则是物理学而非数学的事．最后，他暗示了他的空间的非欧性．
2．黎曼几何学
在1854年的就职论文中，黎曼已经建立黎曼空间的几何学，即黎曼几何学的基础．他给出黎曼度量，提出截面曲率的概念，在所有这些曲 出常曲率空间的黎曼度量．在“巴黎之作”的第二部分，黎曼研究了下 其中aij是给定常数系数．他引进了Pijk以及(ij，kl)，相当于(略有不同)后来所谓克里斯托费尔记号及黎曼曲率张量的分量．他给出一个二次微分变成另一个的必要条件，并用(ij，kl)来表示．他还给出ds2可变成常系数的条件．他的工作很快由继承人所发展，在物理学上起着积极的作用．
七、数学物理
黎曼在数学物理方面最主要的论文是1860年关于声波的论文“论有 endlicher Schwingungsweite)．无穷小振幅的声波传播问题早已解决，黎曼考虑一维有限振幅的情形．黎曼假定气体压强P以一种确定关系依赖于其密度ρ，他证明初始扰动分裂为两个波：压缩波与膨胀波，压缩波压缩得越厉害，波速增加得越快；而膨胀波膨胀得越厉害，波速就减少得越快．这样，有限振幅的波传播中，波形不断改变，而且形成速度的间断——这就是激波．黎曼不仅从理论上证明激波的存在，而且在数学上提供了新的方法，他解的是满足一定初值条件的二元波动方程
他引进共轭方程
且v满足一定的条件．这个共轭方程一般较容易解，得出的解称为黎曼函数．黎曼还得到连系ω及v的公式，于是可得出原来方程的解．黎曼的方法后来为许多人所推广．
八、物理学
黎曼一生都对物理学保持浓厚的兴趣，他致力于研究热学、声学、电学、磁学、光学，并多次讲课涉及这些问题．他的物理论文不完全是理论推导，而且有许多实验数据．晚年，他的“耳的力学”(Mechanik des Ohres)没有完成，经人整理发表在医学刊物上．
黎曼的研究在生前就已受到重视，在他去世后不久发表的论文以及《全集》第一版(1876)出版后，更是得到广泛的传播．但是，他的许多思想一直到三四十年之后才为人们所认识，这段历史比较复杂，现简述如下：
(1)复分析．从19世纪70年代起，魏尔斯特拉斯的幂级数观点占统治地位，从柯西-黎曼路线来研究解析函数的相对较少，这种情况一直到1900年E．古萨(Goursat)的论文发表之后才改变．他证明f(z)连续且导数存在足以保证解析性，从而由柯西及黎曼的路线出发可以推导出魏尔斯特拉斯的结果，使三个方向融合在一起．除此之外，黎曼的论文中一个主要问题是狄利克雷原理．1870年，魏尔斯特拉斯明确指出黎曼的狄利克雷原理不严格，这就使得当时许多数学家绕开狄利克雷原理而来取其他办法来解狄利克雷问题．其中包括H．旋瓦兹(Schwarz)的交错法(1870)，C．诺伊曼(Neumann)的算术平均法(1870)以及H．庞加莱(Poincaré)的扫散法(1890)等，而把狄利克雷原理丢在一边．一直到1900年左右，D．希尔伯特(Hilbert)才指出在一定条件下，狄利克雷原理的确成立，从而恢复了它作为有力数学工具的地位．黎曼的拓扑学思想沿着两条路线发展，一条由意大利的E．贝蒂(Betti)开始，他把黎曼的结果向高维推广，在1871年引进贝蒂数，后经庞加莱发展成为组合拓扑学的基础；另一条由W．K 克利福德(Clifford)、F．克莱因(Klein)和他的学生W．迪克(Dyck)所发展，他们通过各种办法简化黎曼面，从而开创了曲面的拓扑学．
(2)代数函数论．黎曼开创了现代代数几何学，但他用的是超越方法．他在世时，R．F．A．克莱布什(Clebsch)就开创了几何方向，从而真正地把代数几何学建成．其后又有A．W．von布里尔(Brill)及M．诺特(Noether)的代数几何方向，R．戴德金(Dedekind)的代数方向，L．克罗内克(Kronecker)的算术方向．但黎曼的原始思想——亏格、双有理变换、参模等概念以及黎曼-洛赫定理始终是指导其发展的一条主线．
(3)微分方程．1865年，L．富克斯(Fuchs)在黎曼思想基础上创立了复域的常微分方程论．在他的影响下，庞加莱创立了自守函数理论，克莱因定义了单值群．
(4)黎曼ζ函数．黎曼ζ函数从一出现就构成解析数论的核心．沿着黎曼指出的方向(1896年)，J．阿达马(Hadamard)等证明了素数定理，黎曼的6个猜想中的5个在1890—1920年间全部获解，最后一个猜想即黎曼猜想是解析数论的首要问题，其解决将是数学中最为重要的突破之一．
(5)黎曼几何．黎曼的授课资格演讲在1868年发表之后，随即引起许多新工作来处理和发展他的新几何．E．贝尔特拉米(Bel－trami)、E.B．克里斯托费尔(Christoffel)及R．李普希茨(Li－pschitz)在1868—1870年发表论文，解决了黎曼在“巴黎之作”中研究的等价问题，即在两个不同的坐标系x1，…，xn与x′1，…，x′n中给定两个二次微分形式
其中1≤i，j≤n，求存在坐标变换
x′i=x′i(x1，…，xn)(1≤i≤n)
将一个微分形式变到另一个的条件．克里斯托费尔的解中包含后来所谓“克里斯托费尔记号”及协变微分的概念．在此基础上G．里奇(Rieci)于1887—1896年建立了张量分析，并在1901年同他的学生T．列维-齐维塔(Levi－Civita)合写了一篇总结性的论文，对这种算法给出更明确的表述，从而使黎曼几何成为强有力的工具．1916年，A．爱因斯坦(Einstein)的广义相对论用到黎曼几何与张量分析，并把几何与物理自然地结合，促成黎曼几何与相对论物理的进一步发展，特别是产生一系列更一般的几何学(包括黎曼预示过的芬斯拉空间的几何学)及联络的概念．H．外尔(Weyl)又发展所谓规范场的观念，这些工作推动了数学和物理学的新的统一．
转自：http://www.teachblog.net/dlony/articles/10604.html
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原文地址：http://www.cnblogs.com/dirichlet/p/3980776.html
