用到一个结论——[先建树,再给每个非树边一个权值,每个树边的权值为覆盖他的非树边的权值的异或和,然后如果给出的边存在一个非空子集异或和为0则不连通,否则连通](必须保证每条边的出现和消失只能由自己产生,即一个边不能由其他其他边异或得到,这就是我们随机化边权的原因)
证明:(前置性质:I.只割非树边一定不可以 II.非树边"藏"在树边里 III.非树边是在树上是简单路径 IV.对于一个连通块(只考虑树结构),"藏"在他周围树边里的非树边要么连接他与外界(只在他周围树边里出现一次),要么从他进从他出(在他周围树边里出两次) V.若异或和为0,则所有边出现(非树边藏在树边里)偶数次)I.如果此时图不连通,则删掉的边一定存在一个非空子集异或和为0:我们就关注一个被割出来的块,我们先把他周围的树边割掉,那么现在得到的异或值里只有连接他与外界的非树边,因为他不连通,所以剩下的边都被割,异或进来就好,所以得0 II.如果此时的非空集合异或值为0,则原图一定不连通:先把树边割掉得到了几个连通块(只考虑树结构),并且异或起来,那么异或和里面所有出现次数为奇数的非树边都被割掉,现在能连接这些连通块的只有剩下的出现次数为偶数的非树边,而只用出现次数为偶数的非树边一定不能把这些连通块连城一个整体(你可以先把某个出现次数为偶数的非树边的两端所在连通块连起来,然后就可以得到(在树结构中)在被连接的连通块的中间的连通块中,紧挨着被连接的连通块的连通块,一定无法连接上被连接的联通块,于是证得) 证毕!
接下来的实现就很容易了吧.
我一开始用了一种十分神奇的随机化,虽然可以对,但是T掉了(单点1s可过,但是bzoj上0.5s),就是先进行40(30也行)次随机边权不同的最小生成树,得到对于每个边分别在哪几次出现,询问的时候只要不存在[给出所有边都没有选用的生成树]就不连通,否则连通
(也许用不严格的随机化代替严格的运行是一种方法吧.)
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <algorithm> char xB[(1<<15)+10],*xS,*xT; #define gtc (xS==xT&&(xT=(xS=xB)+fread(xB,1,1<<15,stdin),xS==xT)?0:*xS++) inline void read(int &x){ register char ch=gtc; for(x=0;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=gtc); for(;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch=gtc); } const int N=100010,M=500010,A=30; int n,m,f[N],size[N],a[M],b[M],key[M],val[N]; inline int find(int x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);} struct V{int to,next,id;}c[N<<1]; int head[N],t; inline void add(int x,int y,int z){c[++t].to=y,c[t].next=head[x],head[x]=t,c[t].id=z;} #define bin(a,b) (((a)>>(b))&1) struct Gay{ int gay[A]; inline void clear(){memset(gay,0,sizeof(gay));} inline bool insert(int x){ for(int i=A-1;i>=0;--i){ if(!bin(x,i))continue; if(gay[i])x^=gay[i]; else return gay[i]=x,false; }return true; } }gay; inline void dfs(int x,int fa){ for(int i=head[x];i;i=c[i].next) if(c[i].id!=fa)dfs(c[i].to,c[i].id),val[x]^=val[c[i].to]; key[fa]=val[x]; } int main(){ read(n),read(m),srand(45); register int i,x;int y,k,temp,T=(1<<10)-1; for(i=1;i<=m;++i)read(a[i]),read(b[i]); for(i=1;i<=n;++i)f[i]=i,size[i]=1; for(i=1,temp=1;i<=m;++i){ x=find(a[i]),y=find(b[i]); if(x==y){key[i]=rand(),val[a[i]]^=key[i],val[b[i]]^=key[i];continue;} ++temp,size[x]<size[y]?(x^=y^=x^=y):0,f[y]=x,size[x]+=size[y],add(a[i],b[i],i),add(b[i],a[i],i); } if(temp!=n){read(T);while(T--)puts("Disconnected");return 0;} dfs(1,0),key[0]=0,read(T); register bool ans;register int cnt=0; while(T--){ read(k),ans=false,gay.clear(); while(k--){ if(ans){read(x);continue;} read(x),x^=cnt; if(gay.insert(key[x]))ans=true; } puts(ans?"Disconnected":(++cnt,"Connected")); }return 0; }
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <algorithm> typedef long long LL; char xB[(1<<15)+10],*xS=xB,*xT=xB; #define gtc (xS==xT&&(xT=(xS=xB)+fread(xB,1,1<<15,stdin),xS==xT)?0:*xS++) inline void read(int &x){ register char ch=gtc; for(x=0;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=gtc); for(;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch=gtc); } const int N=100010; const int M=500010; int n,m,f[N],size[N],a[M],b[M],sort[M],key[M],buc[M],full=(1<<16)-1; LL pos[M],Full; inline int find(int x){ return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]); } int main(){ read(n),read(m); register int i;int k,x,y,t,id;LL temp; for(i=1;i<=m;++i)read(a[i]),read(b[i]); Full=(1LL<<40LL)-1; for(k=1;k<=40;++k){ temp=1LL<<(k-1LL); srand(666233+k); for(i=0;i<=full;++i)buc[i]=0; for(i=1;i<=m;++i)key[i]=rand()&full,++buc[key[i]]; for(i=1;i<=full;++i)buc[i]+=buc[i-1]; if(k&1)for(i=1;i<=m;++i)sort[buc[key[i]]--]=i; else for(i=m;i>0;--i)sort[buc[key[i]]--]=i; for(i=1;i<=n;++i)f[i]=i,size[i]=1; for(i=1,id=sort[1],t=1;i<=m&&t<n;++i,id=sort[i]){ x=find(a[id]),y=find(b[id]); if(x==y)continue; ++t,pos[id]|=temp; if(size[x]<size[y])std::swap(x,y); f[y]=x,size[x]+=size[y]; } if(k==1&&t!=n){ read(t); while(t--)puts("Disconnected"); return 0; } } read(t);LL ans;y=0; while(t--){ ans=0,read(k); while(k--)read(x),x^=y,ans|=pos[x]; puts(ans==Full?"Disconnected":(++y,"Connected")); }return 0; }
