这个题我们首先可以dp,f[i][j]表示前i个科目恰好碾压了j个人的方案数,然后进行转移。我们先不考虑每个人的分数,先只关心和B的相对大小关系。我们设R[i]为第i科比B分数少的人数,则有f[i][j]=sum f[i-1][k]*C(k,j)*C(n-1-k,R[i]-j) (k>=j) 怎么解释呢,首先前i-1科有k个人已经被碾压,k肯定大于等于j,然后考虑当前这一科有j个人被碾压,那么就需要从k个人中选出j个来即C(k,j),然后从剩下的有R[i]-j个人比B考的少,这些人必须是之前i-1科里就没有被碾压的人,所以再乘上一个C(n-1-j,R[i]-k),到此我们dp完了,可是我们还需要算上每个人的分数,这个东西很明显可以乘上我们的f[m][k]得到答案。 这些分数的方案数是什么呢?对于第i科成绩,有n-R[i]-1个人比B考的多,有R[i]个人比B少,因为我们之前考虑了相对大小关系,这里直接很明显的算就行了就是
然后我们算n次sigam即可,把他们乘在一起。但是由于Ui是1e9级别的,直接暴力算肯定会超时,我们可以用拉格朗日插值来算。
很明显这是一个n次的多项式,所以我们利用插值就可以算出答案了。 —— by VANE
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define MN 105 #define mod 1000000007 using namespace std; inline int read() { int x = 0 , f = 1; char ch = getchar(); while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘){ if(ch == ‘-‘) f = -1; ch = getchar();} while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘){x = x * 10 + ch - ‘0‘;ch = getchar();} return x * f; } int inv[MN+5],Inv[MN+5],p[MN+5],U[MN+5],R[MN+5],n,m,K,f[MN+5][MN+5]; inline int pow(int x,int k) { int sum=1; for(;k;k>>=1,x=1LL*x*x%mod) if(k&1) sum=1LL*sum*x%mod; return sum; } inline int C(int n,int m){return 1LL*p[n]*Inv[m]%mod*Inv[n-m]%mod;} inline void Re(int&x,int y){x+=y;x>=mod?x-=mod:0;} inline int Calc(int m,int rk) { if(m<=n+1) { int res=0; for(int i=1;i<=m;++i) res=(res+1LL*pow(i,rk)*pow(m-i,n-rk-1))%mod; return res; } int sum=1,res=0,Div=1,S=0; for(int i=1;i<=n+1;++i) sum=1LL*sum*(m-i+mod)%mod; for(int i=2;i<=n+1;++i) Div=1LL*Div*(1-i+mod)%mod; for(int i=1;i<=n+1;++i) { int t=1LL*sum*pow(m-i+mod,mod-2)%mod; S=(S+1LL*pow(i,rk)%mod*pow(m-i,n-rk-1))%mod; t=1LL*t*S%mod; res=(res+1LL*t*pow(Div,mod-2))%mod; Div=1LL*Div*pow(mod-(n-i+1),mod-2)%mod*i%mod; } return res; } int main() { n=read();m=read();K=read(); for(int i=1;i<=m;++i) U[i]=read(); for(int i=1;i<=m;++i) R[i]=n-read(); inv[0]=inv[1]=p[0]=p[1]=Inv[0]=1; for(int i=2;i<=MN;++i) p[i]=1LL*p[i-1]*i%mod, inv[i]=1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; for(int i=1;i<=MN;++i) Inv[i]=1LL*Inv[i-1]*inv[i]%mod; f[0][n-1]=1; R[0]=n-1; for(int i=1;i<=m;++i) for(int j=0;j<=R[i];++j) for(int k=j;k<=R[i-1];++k) if(n-1-k>=R[i]-j) Re(f[i][j],1ll*f[i-1][k]*C(k,j)%mod*C(n-1-k,R[i]-j)%mod); int ans=f[m][K]; for(int i=1;i<=m;++i) ans=1LL*ans*Calc(U[i],R[i])%mod; cout<<ans<<endl; return 0; }