01背包

一、问题描述：有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现；

三、动态规划的原理及过程：

　　eg：number＝4，capacity＝8

1、原理

　　动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

2、过程

　　a) 把背包问题抽象化（X₁，X_2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选），V_i表示第 i 个物品的价值，W_i表示第 i 个物品的体积（重量）；

　　b) 建立模型，即求max(V₁X₁+V₂X₂+…+VnXn)；

　　c) 约束条件，W₁X₁+W₂X₂+…+WnXn<capacity；

　　d) 定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值；

　　e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：

　　　　假设(X₁，X₂，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X₂，X₃，…，Xn)是其子问题的最优解，

　　　　假设(Y₂，Y_3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V₂Y₂+V₃Y₃+…+VnYn)+V₁X₁ > (V₂X₂+V₃X₃+…+VnXn)+V₁X_1；

　　　　而(V₂X₂+V₃X₃+…+VnXn)+V₁X₁=(V₁X₁+V₂X₂+…+VnXn)，则有(V₂Y₂+V₃Y₃+…+VnYn)+V₁X₁ > (V₁X₁+V₂X₂+…+VnXn)；

　　　　该式子说明(X₁，Y₂，Y_3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X₁，X₂，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；

　　f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

　　　　第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

　　　　第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

　　　　　　　其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

　　　　由此可以得出递推关系式：

　　　　1) j<w(i)      V(i,j)=V(i-1,j)

　　　　2) j>=w(i)     V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

　　g) 填表，首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

　　h) 然后一行一行的填表，

　　　　1) 如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；

　　　　2) 又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；

　　　　3) 如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；所以填完表如下图：

java：

import java.util.Scanner;

public class Bag {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		int w[] = new int[n+1];//存放重量
		int v[] = new int[n+1];//存放价值
		int c = sc.nextInt();//背包最大容量
		int sum[][] = new int[n+1][c+1];
		
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			w[i] = sc.nextInt();
			v[i] = sc.nextInt();
		}
		
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= c; j++) {
				if(w[i]<=j) {
					sum[i][j] = Math.max(sum[i-1][j], sum[i-1][j-w[i]]+v[i]);
				}else {
					sum[i][j] = sum[i-1][j];
				}
			}
		}
		
		System.out.println(sum[n][c]);
	}
}

另一个例子：