Burnside和Polya定理都是高级计数的工具。对于一般计数问题，可以用排列组合来统计，但是对于更复杂的问题，比如对n个点用m种颜色染色，并且认为这n个点可以相互转移，即第一个点的位置可以与第二个点互换等等，求最多有多少种不同的染色（两种染色不同，当且仅当两者在空间上存在相同位置的两点颜色，且无法通过允许的转移从前者转移到后者）。

　　组合数学提供了强悍的Burnside和Polya定理来对这种复杂情况的可能数进行计数。

基础知识

　　我们将允许的转移以下列方程表示出来：

　　(1 2 3 4 5)

　　(2 3 4 5 1)

　　对于任意输入值，我们先在上面方框里找到对应的下标（如果值未上方标识出来，那么返回值就是输入值，即等值转换），并用该下标在下面方框里找到映射值。实际上可以发现置换是一个函数，因为每个输入值通过转移可以转换为另外一个确定的值。我们将其记作t。

　　对于定义域和值域均落在集合V上的所有置换的集合，称为V上的置换类。（事实上这个类是一个群，但是我们不细讲）

　　可以发现上面的输入值x转移得到的值均为上方括号该值出现的后一位（最后一位后面就认为是首位），其构成了一个循环，我们用(1 2 3 4 5)来简单标记，称这样的置换为循环。

　　由于置换是函数，因此我们可以进行复合操作，即对于置换f与g，我们记fg为二者的复合函数（转移），而(fg)(x)=f(g(x))。若f与g是循环，其也可以写作(f1 f2 ... fn)(g1 g2 ... gm)。

定理：任意一个置换都可以拆解成为若干个不相交循环。比如(1 2 3)(4 5)等价于下面的置换：

　　(1 2 3 4 5)

　　(2 3 1 5 4)

　　对于指定值x，若置换f满足f(x)=x，那么称f是x不动置换，相应的称x是f的不动点，由所有x的不动置换组成的集合称为x不动置换类。

　　置换可以直接作用于向量，对于向量(a1,a2,...,an)，我们记f(a1,a2,...,an)=(a_f(1),a_f(2),...,a_f(n))

核心定理

　　现在来描述问题。有n个点和m种颜色，问有多少种不同的染色的可能。并且提供一个[1,n]上的置换类G，当且仅当两个染色方案a与b，对于所有G中的置换g，都满足g(a)<>b，才认为两个染色方案不同。而每个染色方案可以用向量来表示(c1,c2,...,cn)。其中ci表示第i个点所上的颜色。并且我们称相同的染色方案（向量）为等价类。

Polya定理：记置换G={a1,...,ak}，在[1,m]^n上，不同的向量数目为$ L=\left(\sum_{i=1}^k{m^{l\left(a_i\right)}}\right)/|G| $。其中l(ai)表示置换ai可以展开为循环的节数，比如(1 2)(3 4)(5)就是3节循环。

　　注意使用这两个定理，要保证G中不含重复的置换。（两个置换相同与函数相同的定义一致）。