题解
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设f(i,j)表示用i条边，使得j个点的度数为奇数的情况下连边的方法数。注意到所有的状态共用一个N。
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首先，分类讨论第i条边连接的点的度数的奇偶性。
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如果它连着两个奇数点，那么原来那两个点的度数是偶数，总奇数点个数比现在少2；
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如果这条边连接的点是一奇一偶，那么奇数点的个数不变。
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如果连接着两个偶数点，那么原来这两个点都是奇数点，总奇数点的个数比现在多2。
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通过枚举这条边连接的两个点的奇偶情况，f(i,j)可以分别转移到 f(i-1,j)*(N-j)*j，f(i-1,j-2)*C(j,2)，f(i-1,j+2)*C(N-j,2)
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注意到这样转移的话无法保证没有重边。于是，让我们考虑第i条边和之前的第a条边重复的情况。a有i-1种取值。除去第i条和第a条边，所有的点的度数的奇偶性不变，于是问题转化为f(i-2,j)。这样，我们知道了第i条边和之前的某些边重复的方法数是f(i-2,j)*(i-1)*C(N,2)
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于是，总的转移方程是
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f(i,j)=f(i-1,j)*(N-j)*j+f(i-1,j-2)*C(j,2)+f(i-1,j+2)*C(N-j,2)-f(i-2,j)*(i-1)*C(N,2)
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答案就是f(K,A)/K!
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转移的时候要注意取模以及边界情况的讨论
代码
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 int du[1001],cnt,n,m,k,mo=10007; 7 long long f[1001][1001],a[1001]; 8 long long C(int x){ if (x<2) return 0; return (x-1)*x/2; } 9 int main() 10 { 11 cin>>n>>m>>k; 12 a[0]=1;a[1]=1; 13 for (int i=2;i<=1000;i++) a[i]=(mo-mo/i)*a[mo%i]%mo; 14 for (int i=1;i<=m;i++) 15 { 16 int u,v; 17 scanf("%d%d",&u,&v); 18 du[u]++;du[v]++; 19 } 20 for (int i=1;i<=n;i++) if (du[i]%2==1) cnt++; 21 f[0][cnt]=1; 22 for (int i=1;i<=k;i++) 23 for (int j=0;j<=n;j++) 24 { 25 if (j>=2) f[i][j]+=f[i-1][j-2]*C(n-j+2)%mo; 26 f[i][j]%=mo; 27 if (j+2<=n) f[i][j]+=f[i-1][j+2]*C(j+2)%mo; 28 f[i][j]%=mo; 29 f[i][j]+=f[i-1][j]*j*(n-j)%mo; 30 f[i][j]%=mo; 31 if (i>=2) f[i][j]-=f[i-2][j]*(C(n)-i+2)%mo; 32 f[i][j]=(f[i][j]+mo)%mo; 33 f[i][j]*=a[i]; 34 f[i][j]%=mo; 35 } 36 cout<<f[k][0]; 37 }
