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对于动态树 $(Link-Cut-Tree, LCT)$ 的理解与总结

问题模型

　　有$n$个节点，每个节点有权值$v_i$，现在有$m$个操作，操作有可能是以下$4$种类型：

　　$1$   -   连接两个节点

　　$2$   -   断开两个节点之间的边

　　$3$   -   修改某一个节点的权值

　　$4$   -   询问两点之间的节点权值和

　　保证操作和询问合法，并且输入数据保证任何时刻图中不出现环。

　　$1\leq n,m\leq100000$

做法

　　$\circ$  树链剖分？时间复杂度$O(n+m\ log^2\ m)$，但是显然不行！！。

　　于是$LCT$来了。

　　$LCT，Link-Cut-Tree$即动态树。（又是$Tarjan$提出来的……$Tarjan$大神太强了！）

 　　时间复杂度$O(m\ log\ n)$

$LCT$

　　$LCT$是一种用在树上几乎无敌的算法，但是他也有致命弱点——大常数，可能会抵一个$log$……

　　在学$LCT$之前，我们要先会$Splay$，如果您不会，请先学习$Splay$。

　　$LCT$里面可能存在着多个$Splay$，这个神奇的东西！

　　以下图所表示的树为例。

　　无根树的边是无向的，但是我这里为什么画成有向呢，待会儿就知道了。

$Task\ 1:\ \ \ \ \ Access$

　　$Access$操作是一切的基础！

　　$Access(x)$的作用是从$x$到他的祖先打通一条路径，使他们在$Splay$结构中成为一段连续的节点。

　　比如$Access(4)$的效果如下：

　　于是$4\rightarrow2\rightarrow1$就成为了一条链，并且在Splay中是连续的一段位置。

　　注意，我们这里默认在$splay$中儿子是父亲的右儿子。比如(在$splay$中)4是2的右儿子。

$Task\ 2:\ \ \ \ \ Splay$

　　$Splay=$神奇的相对位置！

　　$Splay$的作用就是对于一个连通块，在不改变树的形态的原则下，通过$Splay$的操作来调整一个节点的位置。

　　比如，在上图，$Splay(2)$的效果如下：

$Task\ 3:\ \ \ \ \ Rever$

　　$Rever$ - 连通块换根！

　　开始脑补！

　　$ Rever(x) ing$

　　考虑我们需要把一个点提到根的位置，办法是通过$splay$。

　　而$splay$之前，我们必然要使得$x$到根的路径被打通。

　　所以先$Access(x)$，然后$Splay(x)$。

　　考虑到我们之前的$Splay$中都是只有右儿子的，但是现在$Splay$之后，当前链上的节点都是只有左儿子的啦！于是我们淡定的打上翻转标记，万事大吉。

$Task\ 4:\ \ \ \ \ Link$

　　关键部分开始了！

　　考虑连接两个节点$x,y$。

　　这不是很简单吗！

　　先让$x$做$x$所在连通块的根（为了让他的father指针空出来连y）

　　然后让$father_x=y$，搞定！

$Task\ 5:\ \ \ \ \ Cut$ 

　　关键部分2.0

　　考虑分离两个点。

　　首先，开始套路：

　　$Rever(x)$

　　然后我们要让$x$变成$y$的直接儿子。

　　于是我们$Access(y),\ Splay(y)$

　　显然这个时候，$x$一定是$y$的左儿子。

　　于是$father_x=son_{y,0}=0;$

　　然后就断开了。$ok$！

　　那么如果完成上面的问题呢？

　　只要在$splay$的过程中维护一个$sum$即可。询问的时候也只要$splay$几下，然后通过处理好的$sum$回答问题即可。

　　如果您想更具体的感受这个操作，请看习题。

贴模板

　　$LCT$讲完了！

　　结合模板学习您就可以得到更深的理解！

　　(该模板如果有错，欢迎留言纠正，谢谢！)

const int N=50005;
int n,m;
int fa[N],son[N][2],rev[N],val[N],sum[N];
bool isroot(int x){
	return son[fa[x]][0]!=x&&son[fa[x]][1]!=x;
}
void pushup(int x){
	sum[x]=sum[son[x][0]]+sum[son[x][1]]+val[x];
}
void pushdown(int x){
	rev[son[x][0]]^=1,rev[son[x][1]]^=1;
	swap(son[x][0],son[x][1]);
}
void pushadd(int x){
	if (!isroot(x))
		pushadd(fa[x]);
	pushdown(x);
}
int wson(int x){
	return son[fa[x]][1]==x;
}
void rotate(int x){
	if (isroot(x))
		return;
	int y=fa[x],z=fa[y],L=wson(x),R=L^1;
	if (!isroot(y))
		son[z][wson(y)]=x;
	fa[x]=z,fa[y]=x,fa[son[x][R]]=y;
	son[y][L]=son[x][R],son[x][R]=y;
	pushup(y),pushup(x);
}
void splay(int x){
	pushadd(x);
	for (int y=fa[x];!isroot(x);rotate(x),y=fa[x])
		if (!isroot(y))
			rotate(wson(x)==wson(y)?y:x);
}
void access(int x){
	int t=0;
	while (x){
		splay(x);
		son[x][1]=t;
		pushup(x);
		t=x;
		x=fa[x];
	}
}
void rever(int x){
	access(x);
	splay(x);
	pushrev(x);
}
void link(int x,int y){
	rever(x);
	fa[x]=y;
}
void cut(int x,int y){
	rever(x);
	access(y);
	splay(y);
	fa[x]=son[y][0]=0;
}

习题