最长公共子序列的问题描述为：
下面介绍动态规划的做法。
令 dp[i][j] 表示字符串 A 的 i 号位与字符串 B 的 j 号位之前的 LCS 长度（下标从 1 开始），如 dp[4][5] 表示 "sads" 与 “admin" 的 LCS 长度。那么可以根据 A[i] 和 B[j] 的情况，分为两种决策:
- 若 A[i]==B[j]，则字符串 A 与字符串 B 的 LCS 增加了 1 位，即有 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。
- 若 A[i] != B[j]，则字符串 A 的 i 号位和字符串B 的 j 号位之前的 LCS 无法延长，因此 dp[i][j] 将会继承 dp[i-1][j] 与 dp[i][j-1] 中的较大值,即有 dp[i][j]=max{dp[i-1][j], dp[i][j-1]}。
由此可以得到状态转移方程：
$dp[i][j]=\left\{\begin{matrix}dp[i-1][j-1]+1,A[i]==B[j]\\ max\left \{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] \right\},A[i]!=B[j]\end{matrix}\right.$
边界：dp[i][0] = dp[0][j] = 0 (0≤i≤n, 0≤j≤m)
这样状态 dp[i][j] 只与其之前的状态有关，由边界出发即可得到整个 dp 数组，最终 dp[n][m] 就是需要的答案，时间复杂度为 O(nm)。
代码如下：
1 /* 2 最长公共子序列（LCS） 3 */ 4 5 #include <stdio.h> 6 #include <string.h> 7 #include <math.h> 8 #include <stdlib.h> 9 #include <time.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define maxn 100 13 char A[maxn], B[maxn]; 14 int dp[maxn][maxn]; 15 16 // 求较大值 17 int max(int a, int b) { 18 return a>b ? a : b; 19 } 20 21 int main() { 22 scanf("%s %s", A+1, B+1); // 从下标为 1 开始输入 23 int lenA = strlen(A+1); // 读取长度也从 1 开始 24 int lenB = strlen(B+1); 25 int i, j; 26 for(i=0; i<=lenA; ++i) { // 边界 27 dp[i][0] = 0; 28 } 29 for(j=0; j<=lenB; ++j) { 30 dp[0][j] = 0; 31 } 32 for(i=1; i<=lenA; ++i) { // 状态转移方程 33 for(j=1; j<=lenB; ++j) { 34 if(A[i] == B[j]) { 35 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1; 36 } else { 37 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]); 38 } 39 } 40 } 41 printf("%d\n", dp[lenA][lenB]); // dp[lenA][lenB] 是答案 42 43 return 0; 44 }
