最大连续子序列和问题如下：
下面介绍动态规划的做法，复杂度为 O(n)。
步骤 1：令状态 dp[i] 表示以 A[i] 作为末尾的连续序列的最大和（这里是说 A[i] 必须作为连续序列的末尾）。
步骤 2：做如下考虑：因为 dp[i] 要求是必须以 A[i] 结尾的连续序列，那么只有两种情况：
- 这个最大和的连续序列只有一个元素，即以 A[i] 开始，以 A[i] 结尾。
- 这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处 A[p] 开始 (p<i)，一直到 A[i] 结尾。
对第一种情况，最大和就是 A[i] 本身。
对第二种情况，最大和是 dp[i-1]+A[i]。
于是得到状态转移方程：
dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}
这个式子只和 i 与 i 之前的元素有关，且边界为 dp[0] = A[0]，由此从小到大枚举 i，即可得到整个 dp 数组。接着输出 dp[0]，dp[1]，...，dp[n-1] 中的最大子即为最大连续子序列的和。
代码如下：
1 /* 2 最大连续子序列和 3 */ 4 5 #include <stdio.h> 6 #include <string.h> 7 #include <math.h> 8 #include <stdlib.h> 9 #include <time.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define maxn 10010 13 int A[maxn], dp[maxn]; // A[i] 存放序列，dp[i] 存放以 A[i] 为结尾的连续序列的最大和 14 15 // 求较大值 16 int max(int a, int b) { 17 return a>b ? a : b; 18 } 19 20 int main() { 21 int n, i, k; 22 scanf("%d", &n); 23 for(i=0; i<n; ++i) { // 输入序列 24 scanf("%d", &A[i]); 25 } 26 dp[0] = A[0]; // 边界 27 for(i=1; i<n; ++i) { 28 // 状态转移方程 29 dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]); 30 } 31 // 求最大连续子序列和 32 k = dp[0]; 33 for(i=1; i<n; ++i) { 34 if(dp[i] > k) { 35 k = dp[i]; 36 } 37 } 38 printf("%d\n", k); // 输出 39 40 return 0; 41 }
此处顺便介绍无后效性的概念。状态的无后效性是指：当前状态记录了历史信息，一旦当前状态确定，就不会再改变，且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行，历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。针对本节问题来说，每次计算状态 dp[i]，都只会涉及 dp[i-1]，而不直接用到 dp[i-1] 蕴含的历史消息。
