题目描述
你有一个长度为 nn 的数列 \{a_n\}{an?} ，这个数列由 0,10,1 组成，进行 mm 个的操作：
1~l~r1 l r ：把数列区间 [l, r][l,r] 内的所有数取反。即 00 变成 11 ，11 变成 00 。
2~l~r2 l r ：询问数列在区间 [l, r][l,r] 内共有多少个本质不同的子序列。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数 n, mn,m ，意义如上所述。
接下来一行包含 nn 个数，表示数列 \{a_n\}{an?} 。
接下来 mm 行，每行包含三个数，表示一个操作，操作格式如上所述。
输出格式：
对于每个询问，输出答案模 10^9 + 7109+7 的结果。
输入输出样例
说明
对于 10 \%10% 的数据，1 \leq n, m \leq 10^21≤n,m≤102 。
对于 30 \%30% 的数据，1 \leq n, m \leq 10^31≤n,m≤103 。
对于 100 \%100% 的数据，1 \leq n, m \leq 10^51≤n,m≤105 。
这道题同HDU6155（只不过我在HDU上T飞了）
首先我们考虑一下暴力怎么写
dp[i][1]表示到第$i$个位置，以$1$结尾，本质不同的子序列
dp[i][0]表示到第$i$个位置，以$0$结尾，本质不同的子序列
转移的时候，假设第$i$个字符是1
那么对它有贡献的是以前以$0$结尾的子序列，以及以前以$1$结尾的子序列，以及空串
那么此时
$dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+1$
$dp[i][0]=dp[i-1][0]$
当第$i$个字符是$0$的时候同理，不难得到
$dp[i][1]=dp[i-1][1]$
$dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+1$
大家有没有发现一件事情?
这个dp的转移是递推！也就是说我们可以用矩阵乘法来加速！
而矩阵乘法可以用线段树来维护！
它的矩阵为
对于操作1的话，先交换要改变的矩阵的第一行和第二行，再交换要改变的矩阵的第一列和第二列
至于为什么？这个可以转移之间的关系入手，也可以直接找规律
这样就实现了两个矩阵的转换
另外还有一点、
对于结果矩阵，我们只会用到[3][1]和[3][2]这两项（分别代表dp[n][1],dp[n][0]）
// luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define LL long long int #define ls k<<1 #define rs k<<1|1 using namespace std; const int MAXN=1e6+10; const int mod=1e9+7; inline int read() { char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();} while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();} return x*f; } char c[MAXN]; struct Matrix { LL mat[4][4]; Matrix(){memset(mat,0,sizeof(mat));} }; struct node { int l,r,w; bool f; Matrix m; }T[MAXN]; Matrix zero,one,HHHHH; Matrix rev(Matrix &a) { for(LL i=1;i<=3;i++) swap(a.mat[1][i],a.mat[2][i]); for(LL i=1;i<=3;i++) swap(a.mat[i][1],a.mat[i][2]); } Matrix MatrixMul(Matrix a,Matrix b) { Matrix c; for(LL k=1;k<=3;k++) for(LL i=1;i<=3;i++) for(LL j=1;j<=3;j++) c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+(a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod )%mod; return c; } void update(int k) { T[k].m=MatrixMul(T[ls].m,T[rs].m); } void pushdown(int k) { if(T[k].f) { T[ls].f^=1;T[rs].f^=1; rev(T[ls].m);rev(T[rs].m); T[k].f=0; } } void Build(int k,int ll,int rr) { T[k].l=ll;T[k].r=rr;T[k].f=0; if(ll==rr) { if(c[ll]==‘0‘) T[k].m=zero; else T[k].m=one; return ; } int mid=ll+rr>>1; Build(ls,ll,mid); Build(rs,mid+1,rr); update(k); } void IntervalChange(int k,int ll,int rr) { if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr) { T[k].f^=1; rev(T[k].m); return ; } pushdown(k); int mid=T[k].l+T[k].r>>1; if(ll<=mid) IntervalChange(ls,ll,rr); if(rr>mid) IntervalChange(rs,ll,rr); update(k); } Matrix IntervalAsk(int k,int ll,int rr) { Matrix ans=HHHHH; if(ll<=T[k].l&&T[k].r<=rr) { ans=T[k].m; return ans; } pushdown(k); LL mid=T[k].l+T[k].r>>1; if(ll<=mid) ans=MatrixMul(IntervalAsk(ls,ll,rr),ans); if(rr>mid) ans=MatrixMul(ans,IntervalAsk(rs,ll,rr)); return ans; } int main() { int N,M; zero.mat[1][1]=zero.mat[2][1]=zero.mat[3][1]=zero.mat[2][2]=zero.mat[3][3]=1; one.mat[1][1]=one.mat[1][2]=one.mat[2][2]=one.mat[3][2]=one.mat[3][3]=1; HHHHH.mat[1][1]=HHHHH.mat[2][2]=HHHHH.mat[3][3]=1; int T; T=1; while(T--) { N=read();M=read(); scanf("%s",c+1); Build(1,1,N); while(M--) { int opt=read(),l=read(),r=read(); if(opt==1) { IntervalChange(1,l,r); } else if(opt==2) { Matrix ans=IntervalAsk(1,l,r); printf("%lld\n", (ans.mat[3][1]+ans.mat[3][2])%mod ); } } } return 0; }
