最长回文子串的问题描述：
下面介绍动态规划的方法，使用动态规划可以达到最优的 O(n2) 复杂度。
令 dp[i][j] 表示 S[i] 至 S[j] 所表示的子串是否是回文子串，是则为 1，不是则为 0。这样根据 S[i] 是否等于 S[j] ，可以把转移情况分为两类：
- 若 S[i] == S[j]，那么只要 S[i+1] 至 S[j-1] 是回文子串，S[i] 至 S[j] 就是回文子串；如果S[i+1] 至 S[j-1] 不是回文子串，则 S[i] 至 S[j] 也不是回文子串。
- 若 S[i] != S[j]，那么 S[i] 至 S[j] 一定不是回文子串。
由此可以写出状态转移方程：
$dp[i][j]=\left\{\begin{matrix}dp[i+1][j-1],S[i]==S[j]\\ 0,S[i]!=S[j]\end{matrix}\right.$
边界：dp[i][i]=1，dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1]) ? 1 : 0。
根据递推写法从边界出发的原理，注意到边界表示的是长度为 1 和 2 的子串，且每次转移时都对子串的长度减了 1，因此不妨考虑按子串的长度和子串的初始位置进行枚举，即第一遍将长度为 3 的子串的 dp 值全部求出，第二遍通过第一遍结果计算出长度为 4 的子串的 dp 值 ……
代码如下：
1 /* 2 最长回文子串 3 */ 4 5 #include <stdio.h> 6 #include <string.h> 7 #include <math.h> 8 #include <stdlib.h> 9 #include <time.h> 10 #include <stdbool.h> 11 12 #define maxn 1010 13 char S[maxn]; 14 int dp[maxn][maxn]; 15 16 int main() { 17 gets(S); // 输入整行字符 18 int len=strlen(S), ans=1; // ans 记录最长回文子串长度 19 int i, j, L; 20 // 边界 21 for(i=0; i<len; ++i) { 22 dp[i][i] = 1; 23 if(i < len-1) { 24 if(S[i] == S[i+1]) { 25 dp[i][i+1] = 1; 26 ans = 2; 27 } 28 } 29 } 30 // 状态转移方程 31 for(L=3; L<=len; ++L) { // 枚举子串长度 32 for(i=0; i+L-1 < len; ++i) { // 枚举子串的起始节点 33 j = i+L-1; // 子串的右端结点 34 if(S[i]==S[j] && dp[i+1][j-1]==1) { 35 dp[i][j] = 1; 36 ans = L; // 更新最长回文子串长度 37 } 38 } 39 } 40 printf("%d\n", ans); // 输出 41 42 return 0; 43 }
