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题解
一道画风正常的……期望DP？
首先考虑如何以最小步数熄灭所有灯：贪心地从大到小枚举灯，如果它亮着则修改它。可以求出总的最小步数，设为\(cnt\)。
然后开始期望DP。设\(dp[i]\)为当前最小步数是\(i\)，总最小步数是\(i\)，要达到最小步数是\(i - 1\)的状态，期望要走多少步。则有\(\frac{i}{n}\)的几率恰好走了该走的一步，而有\(\frac{n - i}{n}\)的几率走错了（回到了\(dp[i + 1]\)表示的状态）。
则：\[dp[i] = \frac{i}{n} + \frac{n - i}{n}(1 + dp[i + 1] + dp[i])\]
就可以推出来了。
答案就是：\((\sum_{i = k + 1}^{cnt} dp[i] + min(cnt, k)) * n!\)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void read(T &x){
char c;
bool op = 0;
while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
if(c == '-') op = 1;
x = c - '0';
while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
x = x * 10 + c - '0';
if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x >= 10) write(x / 10);
putchar('0' + x % 10);
}
const int N = 100005, P = 100003;
int n, m, a[N], cnt;
ll dp[N], ans;
ll qpow(ll a, ll x){
ll ret = 1;
while(x){
if(x & 1) ret = ret * a % P;
a = a * a % P;
x >>= 1;
}
return ret;
}
int main(){
read(n), read(m);
for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
for(int i = n; i; i--)
if(a[i]){
cnt++;
for(int j = 1; j * j <= i; j++)
if(i % j == 0){
a[j] ^= 1;
if(j * j < i) a[i / j] ^= 1;
}
}
for(int i = n; i; i--)
dp[i] = 1 + (n - i) * qpow(i, P - 2) % P * (1 + dp[i + 1]) % P;
for(int i = cnt; i > m; i--)
ans = (ans + dp[i]) % P;
ans = (ans + min(cnt, m)) % P;
for(int i = 2; i <= n; i++)
ans = ans * i % P;
write(ans), enter;
return 0;
}