浅谈卡特兰数(Catalan number)的原理和应用

一、卡特兰数(Catalan number)

1.定义

组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列(用c表示)。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名；

2.计算公式

(1)递推公式

c[n]=Σc[k]*c[n-k-1]，边界条件为c[0]=1;

其递推解为c[n]=C(2n,n)/(n+1)，即卡特兰数的通项公式，其中C表示数的组合；

(2)另类递推式

c[n]=c[n-1](4n-2)/(n+1)，边界条件为c[0]=1;

其递推解为c[n]=C(2n,n)-C(2n,n-1),C表示数的组合；

(3)其他公式

c[n]=(Σ(0≤i≤n)C(i,n)^2)/(n+1);

ps：通过展开可以发现它们的本质是一样的；

3.简单应用

(1)求解路径方案数：如图所示，从原点(0,0)到点B(n,n)，只能向右或向上进行长度为一个单位的移动，路线一直处于y=x之下（不越过直线y=x）的不同路径方案数；

solution：每个n的解都可以看做先前的解数（再向右向上即为所求）加上不触及各个y=x上的点到达B点的方案数，可以发现其递推公式即为卡特兰数计算公式；

(2)求01串的个数：n个0与n个1构成的序列方案数，使得任何一个前缀0的个数不少于1的个数；

solution：将0看做在坐标系中向右走一步，1看做向上走一步，则问题即可化简为从原点到(n,n)所有路线中一直处于y=x之下（不越过直线y=x）的不同路径方案数，与上题相同，方案数即为对应n的卡特兰数；

(3)给定节点求解二叉树的个数：已知由n个节点，求形成不同的二叉树有多少种？

solution：将向左生成子树看做0，向右生成字数看成1，则问题化简为求n/2个0和n/2个1构成数串的不同方案数，即上题无条件解的一半，与上题答案相同，形成不同的树的个数即为对应n的卡特兰数；

(4)求凸边形进行三角剖分的不同方案数：在一个有n+1条边的凸多边形中，求通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成若干个三角形的不同方案数。

solution：因为每一条边都一定是剖分后的三角形的一条边，任意一条边都会把多边形分成两个小多边形，那么根据乘法原理，解即为划分成不同多边形的方案数对应小多边形的划分方案数之和，即f[n]=Σ（3≤k≤n-3）f[k]f[n-k-1]，可以发现解数即为n对应的卡特兰数；