UVA10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2)

本文是刘汝佳《算法竞赛入门经典——训练指南》的读书笔记。

解题思路：

　　对于项链，它只支持旋转置换；而手镯支持旋转和翻转。下面由这两种置换来研究本题。

　　旋转

　　设顺时针旋转 \(i\) 颗珠子的间距，则珠子 \(0, i, 2i, ...\) 构成一个循环。

　　设每个循环有 \(t\) 颗珠子，则这 \(t\) 颗珠子的编号分别为：\(0, (i \mod n), (2i \mod n), ... [(t-1)i \mod n]\)，我们不能推出：\(ti \mod n = 0\)，即 \(ti = nk, k \in Z\).则\(ti = nk\) 的最小值为 \(lcm(i,n)\)，故由 \(ti = nk = lcm(i,n)\) 得

　　\(ti = \frac{in}{gcd(i,n)}\)

　　\(t = \frac{n}{gcd(i,n)}\)

　　则循环数为\(\frac{n}{t} = gcd(i,n)\).

　　不动点总数为 \(a = \sum_{i=0}^{i=n-1} t^{gcd(i,n)}\).

翻转

　　分 \(n\) 为奇数偶数两种情况讨论：

　　若 \(n\) 为奇数，则对称轴有 \(n\) 条，每条对称轴形成 \(\frac{n-1}{2}\) 个二元循环和 \(1\) 个一元循环，其总循环数为　 \(\frac{n+1}{2}\).  不动点总数为 \(b = nt^{\frac{n+1}{2}}\).

　　若 \(n\) 为偶数，对称轴有两种，一种穿过两个对点，这种对称轴形成 \(2\) 个一元循环和 \(\frac{n}{2} - 1\) 个二元循环；一种是穿过两条对边的中点，这种对称轴形成 \(\frac{n}{2}\) 个二元循环。两种对称轴都有 \(\frac{n}{2}\) 条，则不动点总数为  \(b = \frac{n}{2}(t^{\frac{n}{2}}+t^{\frac{n}{2}+1})\).

　　则项链数为 \(\frac{a}{n}\)，手镯数为 \(\frac{a+b}{2n}\).

AC代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 ll pows[100];
 6 ll gcd(ll a,ll b){
 7     if(b==0)    return a;
 8     return gcd(b,a%b);
 9 }
10 int main(){
11     ll n,t;
12     while(scanf("%lld%lld",&n,&t)==2){
13         ll xuan=0;
14         pows[0]=1;
15         for(int i=1;i<=n;i++)   pows[i]=pows[i-1]*t;
16         for(ll i=0;i<n;i++){
17             ll g=gcd(i,n);
18             xuan+=pows[g];
19         }
20         ll fan=0;
21         if(n%2==1)
22             fan=pows[(n+1)/2]*n;
23         else
24             fan=(pows[n/2]+pows[n/2+1])*n/2;
25         printf("%lld %lld\n",xuan/n,(fan+xuan)/(2*n));
26 
27     }
28 
29 
30     return 0;
31 }