伯努利数与自然数幂和

数学上，伯努利数 \(B_n\)的第一次发现与下述数列和的公式有关：\[\sum_{k=1} ^ {n} k ^ m = 1 ^ m + 2 ^ m + 3 ^ m + \dots + n ^ m\]其中\(m\)为固定的任意正整数。

这个数列的和的公式必定是变量为\(m\)，次数为\(n+1\)的多项式，称为伯努利多项式。伯努利多项式的系数与伯努利数有密切关系如下。 \[\sum_{k=1} ^ {n} k ^ m = \frac {1} {m+1} \sum_{k=0} ^ m \dbinom{m+1}{k} B_k n ^{m+1-k}\]。

举个例子： 取\(m=1\)，我们有\(1+2+\dots+n=\frac{1}{2}(B_0n ^ 2 + 2 B_1 ^ {+} n ^ 1 )=\frac{1}{2}(n ^ 2 + n)\)。

伯努利数 满足条件\(B_0=1\)，且\[\sum_{k=0} ^ n \dbinom{n+1}{k} B_k = 0\]于是有\[B_n=-\frac{1}{n-1} \sum_{k=0} ^ {n-1} \dbinom{n+1}{k} B_k\]