贴个教程: 四边形不等式学习笔记
\(Description\)
给出平面上的n个点，满足Xi严格单增，Yi严格单减。以x轴和y轴正方向作边，使这n个点构成一棵树，求边总长最小。
\(Solution\)
考虑有两棵构造好的树，要合并这两棵树，要从右边的树中找一个最优点连到左边的树上
不难想到区间DP(真的想不到==)
f[i][j]表示将[i,j]合并为一棵树的最小代价，那么有 f[i][j] = min{ f[i][k-1]+f[k][j]+cost(i,j,k) }
cost(i,j,k)=X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j] //ps: 当前左边树主干在 \(Xi\) 位置，且下部高度为 \(Y_{k-1}\)，合并后下部应为 \(Yj\)；另外肯定是拿右边树的最左上点合并啊
这个cost是三维的，证不了cost满足四边形不等式
那想下 决策应该是满足单调性的，即 P[i][j-1]<=P[i][j]<=P[i+1][j]
注意左端点应是max(P[i][j-1],i+1)
f应该满足四边形不等式，不会证。
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=1005;
int n,X[N],Y[N],P[N][N],f[N][N];
inline int read()
{
int now=0,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now*f;
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1; i<=n; ++i) X[i]=read(),Y[i]=read();
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1; i<=n; ++i) P[i][i]=i, f[i][i]=0;
for(int tmp,i=n-1; i; --i)
for(int j=i+1; j<=n; ++j)
for(int k=std::max(P[i][j-1],i+1); k<=P[i+1][j]; ++k)
if(f[i][j]>(tmp=f[i][k-1]+f[k][j]+X[k]-X[i]+Y[k-1]-Y[j]))
f[i][j]=tmp, P[i][j]=k;
printf("%d\n",f[1][n]);
}
return 0;
}