无源汇上下界可行流

一些点，一堆边，每条边要满足流量限制[l,r][l,r]

先令每条边流量等于流量下限，得到初始流，初始流可能不满足流量守恒，再建出残量网络(上限-下限)，求出可能不满足流量守恒的附加流，使附加流和初始流合并后满足流量守恒

如何建残量网络

定义a[i]a[i]表示初始流中流入量-流出量
若a[i]>0a[i]>0表示流入量大于流出量，附加量需要流入量小于流出量
若a[i]<0a[i]<0表示流入量小于流出量，附加量需要流入量大于流出量
若a[i]=0a[i]=0表示流入量=流出量，附加中流入量等于流出量

问题变为多余的流入量和流出量从哪来

新建虚拟结点ssss和tttt
对于a[i]>0a[i]>0，附加量流出量大于流入量，ii向tttt连一条a[i]a[i]的边
a[i]<0a[i]<0，附加量流入量大于流出量，ssss向ii连一条-a[i]−a[i]的边

若在残量网络上一个满流，这个流就是我们需要的附加流
最后，每条边的可行流==流量下界++附加流中这条边的流量

有源汇上下界可行流

有原点ss和汇点tt，还有一些边，每条边有一个限制[l,r][l,r]

即使有了源和汇，也可以转换为无源汇，因为ss的流出量=t=t的流入量，就从tt向ss连一条下界为00上界为+\infty+∞的边，跑无源汇上下界可行流，最终的可行流就是tt到ss的边上的流量

有源汇上下界最大流

有原点ss和汇点tt，还有一些边，每条边有一个限制[l,r][l,r]，求出最大流

先求出可行流，再从原图残量网络中求出最大流，最大流就是可行流++最大流

有源汇上下界最小流

有原点ss和汇点tt，还有一些边，每条边有一个限制[l,r][l,r]，求出最小流

先求出可行流
因为dinic中，反向边流量增加==正向边流量减小，所以，从tt向ss求一边最大流，可行流大小-tt到ss的最大流就是最小流