前言：今天接着学习动态规划算法，学习如何用动态规划来分析解决矩阵链乘问题。首先回顾一下矩阵乘法运算法，并给出C++语言实现过程。然后采用动态规划算法分析矩阵链乘问题并给出C语言实现过程。
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define A_ROWS 3
#define A_COLUMNS 2
#define B_ROWS 2
#define B_COLUMNS 3
void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS])
{
if(A_COLUMNS!=B_ROWS)
{
cout<<"incompatible dimensions"<<endl;
exit(1);
}
int i,j,k;
for(i=0;i<A_ROWS;i++)
for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)
{
C[i][j]=0;
for(k=0;k<A_COLUMNS;k++)
C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
}
}
int main()
{
int C[A_ROWS][B_COLUMNS];
int A[A_ROWS][A_COLUMNS]={{1,2},{3,4},{5,6}};
int B[B_ROWS][B_COLUMNS]={1,2,3,4,5,6};
matrix_multiply(A,B,C);
int i,j;
for(i=0;i<A_ROWS;i++)
{
for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)
cout<<C[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
2、矩阵链乘问题描述
给定n个矩阵构成的一个链<A1,A2,A3,.......An>，其中i=1,2,...n，矩阵A的维数为pi-1pi，对乘积 A1A2...An 以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号。
注意：在矩阵链乘问题中，实际上并没有把矩阵相乘，目的是确定一个具有最小代价的矩阵相乘顺序。找出这样一个结合顺序使得相乘的代价最低。
3、动态规划分析过程
1）最优加全部括号的结构
动态规划第一步是寻找一个最优的子结构。假设现在要计算AiAi+1....Aj的值，计算Ai...j过程当中肯定会存在某个k值（i<=k<j）将Ai...j分成两部分，使得Ai...j的计算量最小。分成两个子问题Ai...k和Ak+1...j，需要继续递归寻找这两个子问题的最优解。
有分析可以到最优子结构为：假设AiAi+1....Aj的一个最优加全括号把乘积在Ak和Ak+1之间分开，则Ai..k和Ak+1..j也都是最优加全括号的。
2）一个递归解
设m[i,j]为计算机矩阵Ai...j所需的标量乘法运算次数的最小值，对此计算A1..n的最小代价就是m[1,n]。现在需要来递归定义m[i,j]，分两种情况进行讨论如下：
当i==j时：m[i,j] = 0，（此时只包含一个矩阵）
当i<j 时：从步骤1中需要寻找一个k（i≤k＜j）值，使得m[i,j] ＝min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj} （i≤k＜j）。
3）计算最优代价
虽然给出了递归解的过程，但是在实现的时候不采用递归实现，而是借助辅助空间，使用自底向上的表格进行实现。设矩阵Ai的维数为pi-1pi，i=1,2.....n。输入序列为：p=<p0，p1,...pn>，length[p] = n+1。使用m[n][n]保存m[i,j]的代价，s[n][n]保存计算m[i,j]时取得最优代价处k的值，最后可以用s中的记录构造一个最优解。书中给出了计算过程的伪代码，摘录如下：
MAXTRIX_CHAIN_ORDER(p)
n = length[p]-1;
for i=1 to n
do m[i][i] = 0;
for t = 2 to n //t is the chain length
do for i=1 to n-t+1
j=i+t-1;
m[i][j] = MAXLIMIT;
for k=i to j-1
q = m[i][k] + m[k+1][i] + qi-1qkqj;
if q < m[i][j]
then m[i][j] = q;
s[i][j] = k;
return m and s;
C++代码：
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 6
#define MAXVALUE 100000000
void matrix_chain_order(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
int i,j,l,k;
for(i=1;i<=N;i++)
m[i][i]=0;
for(l=2;l<=N;l++)
{
for(i=1;i<=N-l+1;i++)
{
j=i+l-1;
m[i][j]=MAXVALUE;
for(k=i;k<=j-1;k++)
{
int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(temp<m[i][j])
{
m[i][j]=temp;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
}
void print_optimal_parens(int s[N+1][N+1],int i,int j)
{
if(i==j)
cout<<"A"<<i;
else
{
cout<<"(";
print_optimal_parens(s,i,s[i][j]);
print_optimal_parens(s,s[i][j]+1,j);
cout<<")";
}
}
int main()
{
int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25};
int m[N+1][N+1]={0};
int s[N+1][N+1]={0};
int i,j;
matrix_chain_order(p,m,s);
cout<<"m value is: "<<endl;
for(i=1;i<=N;++i)
{
for(j=1;j<=N;++j)
cout<<m[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<"s value is: "<<endl;
for(i=1;i<=N;++i)
{
for(j=1;j<=N;++j)
cout<<s[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<"The result is:"<<endl;
print_optimal_parens(s,1,N);
return 0;
}
