上下界网络流

模型

给定一个网络，一个加权的有向图G，其中的每条边都有一个容量上界C。其中的两点：S只有出度没有入度，T只有入度没有出度。求S到T最大可以流过的流量，这是最大流的模型。
且满足以下条件：

• 容量限制：每条边的流量\(0\leq f\leq C\)
• 流量平衡：任意一个点i，\(\sum\limits_{(u,i)\in E}f(u,i) = \sum\limits_{(i,v)\in E}f(i,v)\)

那么f是G的一个可行流。最大流即满足容量限制的最大的流。

如果在网络中，每条边增加一个流量下界B，这就是有上下界限制的网络流的模型了。
那么有上下界限制的网络流也是满足两个条件：

• 容量限制：每条边的流量\(B\leq f\leq C\)
• 流量平衡：任意一个点i，\(\sum\limits_{(u,i)\in E}f(u,i) = \sum\limits_{(i,v)\in E}f(i,v)\)

有上下界限制的网络流一般分为三类：

• 无源汇有上下界可行流
• 有源汇有上下界最大流
• 有源汇有上下界最小流

下面分别阐述其求法

预备知识

B(u,v): u->v的流量下界
C(u,v): u->v的流量上界
f(u,v): u->v的流量

无源汇上下界可行流

顾名思义，无源汇上下界可行流：没有源点S，汇点T。在网络中求可行流或者指出不存在。

对于这个问题，不好处理，但是如果我们去掉流量下界限制B，那么就是最大流的模型了，问题就可以解决了。

直接去掉B是不对的。我们规定初始流：每条边先流过B的流量。但是初始流可能会不满足流量平衡。即可能存在：\(\sum\limits_{(u,i)\in E}B(u,i) \neq \sum\limits_{(i,v)\in E}B(i,v)\)

那么我们加上一个\(g\)（附加流）是其满足流量平衡。
\(\sum\limits_{(u,i)\in E}B(u,i)+g(u,i) = \sum\limits_{(i,v)\in E}B(i,v)+g(i,v)-----(1)\)
\(B + g\) 也就是实际的流量\(f\)。

此时我们去掉了流量下界限制B，那么网络中每条边的容量上界限也要减去，即新网络图中每条边的流量上界限制为$C‘ = C - B $，下界限制0。

用最大流求解：
将(1)式移项：

\(\sum\limits_{(u,i)\in E}B(u,i)-\sum\limits_{(i,v) \in E}B(i,v) = \sum\limits_{(i,v)\in E}g(i,v) - \sum\limits_{(u,i)\in E}g(u,i)\)

令\(M(i) = \sum\limits_{(u,i)\in E}B(u,i)-\sum\limits_{(i,v) \in E}B(i,v)\)
原式：
\(M(i) = \sum\limits_{(i,v)\in E}g(i,v) - \sum\limits_{(u,i)\in E}g(u,i)\)

M(i)是已知的，i点的流入的下界之和减流出的下界之和。

1、如果\(M(i) \geq 0\)

\(\sum\limits_{(i,v)\in E}g(i,v) = \sum\limits_{(u,i)\in E}g(u,i)+ M(i)\)

那么我们发现附加流中流出的需要比流入的多M(i)才可以达到流量平衡，那么这些流从哪来呢。建一个源点SS，建一条从SS到i的边，容量为\(M(i)\)。

2、如果\(M(i) \leq 0\)
\(\sum\limits_{(i,v)\in E}g(i,v) - M(i) = \sum\limits_{(u,i)\in E}g(u,i)\)

同理，发现附加流中流入的需要比流出的多M(i)才可以达到流量平衡。建议汇点TT，建一条从i到TT点边，容量\(-M(i)\)，容量也就变成正的了。

建图完毕。从SS到TT跑一遍最大流即可。原图中存在解的条件是：每条从SS连出的边与连向TT的边都需要满流。

问题：为什么从SS连出的边与连向TT的边满流后才存在解，不满流就不存在解？
设从SS连出的边其中一条指向a，容量M。思考连这条边是因为a的B中流出的大于流入的。如果这条边未满流（假设流量是M‘），那么：B1（流入的） + M‘ < B2（流出的）。a点不满足流量平衡，不存在解。
更直观的放在网络上解释：a点要满足所有的边的流量\(c \leq f \leq c\)，那么出边当然不能例外，那么出边的流量和最少是B2。而流入的流量和，最小是B1，由于B1比B2小，所以要加一些附加流M‘，但是即使B1+M‘也小于B2，所以这个点流入的流量是不等于流出的。所以无解。
相反，如果满流，那么说明这个点已经流量平衡了，有满足了容量限制，那么也就有解了。
对于连向TT的边，同理。

无源汇上下界网络流到此求解完成。
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未完~