寻找倍数的时间复杂度分析

　　经常能遇到类似于这样的情况，给出一个n，寻找[1,n]中每个数x的所有落于[1,n]中的倍数。

　　举一个比较常见的例子，我们用普通的筛法寻找[1,n]之间的所有素数并标记。代码大概如下：

isPrime = new int[n + 1]
for(i = 1; i <= n; i++)
    isPrime[i] = true
isPrime[1] = false
for(i = 2; i <= n; i = i + 1)
    for(j = i + i; j <= n; j = i + i)
         isPrime[j] = false

　　很容易发现对于数x，在区间[1,n]中其倍数数目为floor(n/x)。而累加每个数，倍数的总数为$ \sum_{i=1}^n{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor} $。很容易发现这个值的既是我们上面程序的时间复杂度，那么这个值大约是多少呢？

　　很容易发现这个值的一个上界$ n\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}} $，之后我们把视角移动到新的上界上来。注意到下面不等式的成立（想起黎曼积分的定义）：

$$ \int_i^{i+1}{\frac{1}{x}dx}\le\frac{1}{i}\le\int_{i-1}^i{\frac{1}{x}dx} $$

进行累加可以得到：

$$ \int_1^{n+1}{\frac{1}{x}dx}\le\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}\le 1+\int_1^n{\frac{1}{x}dx}\Rightarrow\ln\left(n+1\right)\le\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}\le 1+\ln n $$

因此上面程序的时间复杂度就可以表示为O(nln(n))，是一个相当不赖的时间复杂度。当然还有许多可以优化的空间，甚至还可以优化为线性的欧拉筛。