题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-10601
题目大意：
见刘汝佳《算法竞赛入门经典——训练指南》\(P182\).
知识点： 组合计数、置换群
解题思路：
正方体的置换有\(4\)种：
\(A\). 静止不动（\(1\) 个）。置换类型为 \((12,0,0,0,0,0)\).（ \((a,b,c,d,e,f)\) 表示其置换表达式是一个有 \(a\) 个一阶循环，\(b\) 个二阶循环，\(c\) 个三阶循环......(依次类推）,详见《组合数学（原书第五版）》）。
\(B\). 以一个面的中心到其对面中心的连线为轴旋转（\(3\) 条轴）
旋转 \(90\cir\)，置换类型为 \((0,0,0,3,0,0)\);
旋转 \(180\cir\)，置换类型为 \((0,6,0,0,0,0)\);
旋转 \(270\cir\)，置换类型为 \((0,0,0,3,0,0)\)。
\(C\). 以两个对顶点的连线为轴旋转（\(4\) 条轴）
旋转 \(120\cir\)，置换类型为 \((0,0,4,0,0,0)\);
旋转 \(240\cir\)，置换类型为 \((0,0,4,0,0,0)\)。
\(D\). 以两条对边的中点的连线为轴旋转（\(6\) 条轴）
旋转 \(180\cir\)，置换类型为 \((2,5,0,0,0,0)\)。
不难发现：除了 \(D\) 类置换之外，其他所有置换的循环长度都是单一的，在计算不变着色数时，对于每一种木棍的数量 \(n\)，如果不整除循环长度 \(k\)，说明不变着色数为\(0\)，否则就是种类数就是 \(C_{12/k}^{n/k}\)；对于 \(D\) 类置换，枚举两个一阶循环的着色情况，其他的处理方式同上。
AC代码：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 3 using namespace std; 4 typedef long long ll; 5 ll a[7],b[7]; 6 ll C[20][20]; 7 void init(){ 8 C[0][0]=C[1][0]=C[1][1]=1; 9 for(int i=2;i<20;i++){ 10 C[i][0]=C[i][i]=1; 11 for(int j=1;j<i;j++) 12 C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j]; 13 } 14 } 15 ll cal(int n,int tot){ //（循环长度，总循环数） 16 for(int i=1;i<=6;i++){ 17 if(b[i]%n!=0) return 0; 18 b[i]/=n; //每种木棍可以填满的循环数 19 } 20 ll ret=1; 21 for(int i=1;i<=6;i++){ 22 ret*=C[tot][b[i]]; 23 tot-=b[i]; //总循环数要相应地减去 24 } 25 return ret; 26 } 27 int main(){ 28 init(); 29 int t; 30 scanf("%d",&t); 31 while(t--){ 32 memset(a,0,sizeof(a)); 33 int tmp; 34 for(int i=0;i<12;i++){ 35 scanf("%d",&tmp); 36 a[tmp]++; 37 } 38 ll ans=0; 39 for(int i=1;i<=6;i++) b[i]=a[i]; 40 ans+=cal(4,3)*6; 41 for(int i=1;i<=6;i++) b[i]=a[i]; 42 ans+=cal(2,6)*3; 43 for(int i=1;i<=6;i++) b[i]=a[i]; 44 ans+=cal(3,4)*8; 45 for(int i=1;i<=6;i++) b[i]=a[i]; 46 ans+=cal(1,12); 47 for(int i=1;i<=6;i++){ 48 for(int j=1;j<=6;j++){ 49 for(int k=1;k<=6;k++) b[k]=a[k]; 50 b[i]--,b[j]--; 51 if(b[i]<0||b[j]<0) continue; 52 ans+=cal(2,5)*6; 53 } 54 } 55 printf("%lld\n",ans/24); //共24个置换 56 } 57 return 0; 58 }
