UVA10294 Arif in Dhaka (群论,Polya定理)
- 题意 :
给你一个长为\(n\)的项链和手镯,每个珠子有\(m\)种颜色.
两个手镯定义为相同,即它们通过翻转和旋转得到一样的手镯.
两个项链定义为相同,即它们只能通过旋转得到一样的项链.
求出有多少种本质不同的项链和手镯.
\((1 \le n \le 50, 1 \le m \le 10)\)
- 题解 : (参考了一下这篇大佬博客)
大白书上的原题,一个裸的Polya定理(逃
Polya定理 : \[L=\frac{1}{|G|}\sum \limits _{i=1} ^{|G|} m^{c(g_i)}\]
其中\(G=\{g_1, ..., g_s\}\) \(c(g_i)\)为置换\(g_i\)的循环节个数(等价类个数) \(L\)为本质不同的方案数.
首先考虑旋转 :
假设当前旋转\(i\)颗珠子,那么就有\(\gcd (n,i)\)个等价类(循环),每个循环长度则为\(\frac{n}{\gcd(n,i)}\).
这个证明同样参考了之前那篇博客....(我用LaTeX再打一下..)
将珠子从\(0\)到\(n-1\)标号,那么对于旋转\(i\)位的置换,在以\(0\)号为起点,长度为\(t\)的一个循环节,
元素标号就为\(0,i \bmod n, (2i) \bmod n, ... , ((t-1)i) \bmod n\).
所以就有\(t \cdot i \bmod n = 0\),即有\(t \cdot i = n \cdot k\). 使左右成立的最小正整数就为\(lcm (n, i)\).
那么\(t \cdot i = lcm(n,i)\)所以\(t=\frac{lcm(n,i)}{i}=\frac{n}{\gcd(n,i)}\). 那么等价类就是\(\frac{n}{t}=\gcd(n,i)\).
所以这些的贡献就是\(a=\sum \limits_{i=0}^{n-1} m^{\gcd(i,n)}?\).
再考虑一下翻转 :
?
