点双连通分量与割点

前言

在图论中，除了在有向图中的强连通分量，在无向图中还有一类双连通分量

双连通分量一般是指点双连通分量

当然，还有一种叫做边双连通分量

点双连通分量

对于一个连通图，如果任意两点至少存在两条“点不重复”的路径，则说图是点双连通的（即任意两条边都在一个简单环中），点双连通的极大子图称为点双连通分量。

计算方法比较简单

在tarjan的过程中，如果由\(i\) dfs到\(j\)，并且\(low[j]>=dfn[i]\)，那么进行弹栈直到\(j\)被弹出，弹出的点加上\(i\)构成了一个点双连通分量。
（实际就是在搜索树种这个点和它下面的点构成了一个双连通分量）

注意在tarjan的过程中，我们可以选择存边，也可以存点，不过存点的话边界条件要变一下

do
{
    h=s.top();s.pop();
    #￥%……&*（（）
}while(h!=edge[i].v);//warning 

与二分图的关系

（1） 如果一个点双连通分量内的某些顶点在一个奇圈中（即双连通分量含有奇圈），那么这个双连通分量的其他顶点也在某个奇圈中；

（2） 如果一个点双连通分量含有奇圈，则他必定不是一个二分图。反过来也成立，这是一个充要条件。

例题

POJ 2942

题解

割点(割顶)

割点：对于无向图中的点\(i\)，若去掉\(i\)点，无向图的连通快个数会增加，则称点\(i\)为割点

不难发现一个点是割点当且仅当他在多个点双里。

考虑之前求点双的过程，找到一个点双时，那个\(i\)就是一个割点。

根节点需要特判一下，必须要有至少\(2\)个孩子时才是割点。

例题

洛谷P3388

题解