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Codeforces 893E Counting Arrays:dp + 线性筛 + 分解质因数 + 组合数结论

时间:2018-02-27 21:31:35      阅读:280      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:数列   pre   cout   def   bool   pac   define   预处理   max   

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/893/E

题意:

  共q组数据(q <= 10^5),每组数据给定x,y(x,y <= 10^6)。

  问你有多少种长度为y,乘积为x的整数数列。(可以有负数)

 

题解:

  首先考虑数列只有正整数的情况。

 

  将x分解质因数:x = ∑ a[i]*p[i]

  由于x较大,所以要先用线性筛求出素数,再枚举素数分解质因数。

 

  那么一个乘积为x的数列可以看做,将x的所有∑ p[i]个质因子,分配到了y个位置上。

  设f(i)表示:将p[i]个质因子a[i],分配到y个位置上的方案数。

  所以乘积为x的数列总数ans = ∏ f(i)。

  其中,f(i)等价于:长度为y,和为p[i]的数列总数。

 

  由于是多组数据,所以要预处理出对于所有长度的f(i)。

  dp[i][j]表示y = i时,之和为j的数列总数。

  转移:dp[i][j] = ∑ dp[i-1][0 to j]

  用前缀和优化转移,总复杂度O(nlogn)。

 

  这样就求出了只考虑正整数情况下的数列总数:ans = ∑ dp[y][p[i]]

  然后考虑加负号的情况。

  由于x为正数,所以只能加偶数个负号。

  所以加负号的方案数 = C(y,0) + C(y,2) + C(y,4) + ... + C(y,偶数)

  有一个组合数结论:∑ C(n,偶数) = ∑ C(n,奇数) = 2^(n-1)。

  所以最终ans = ans * (2^(y-1))即为最终答案。

 

AC Code:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #define MAX_X 1000005
 5 #define MAX_P 25
 6 #define SET_X 1000000
 7 #define SET_P 20
 8 #define MOD 1000000007
 9 
10 using namespace std;
11 
12 int x,y,q;
13 int cnt,tot=0;
14 int p[MAX_P];
15 int pw[MAX_X];
16 int prime[MAX_X];
17 int dp[MAX_X][MAX_P];
18 int sum[MAX_X][MAX_P];
19 bool mark[MAX_X];
20 
21 void cal_dp()
22 {
23     memset(dp,0,sizeof(dp));
24     memset(sum,0,sizeof(sum));
25     dp[0][0]=1;
26     for(int i=0;i<=SET_P;i++) sum[0][i]=1;
27     for(int i=1;i<=SET_X;i++)
28     {
29         for(int j=0;j<=SET_P;j++)
30         {
31             dp[i][j]=sum[i-1][j];
32             sum[i][j]=(sum[i][j-1]+dp[i][j])%MOD;
33         }
34     }
35 }
36 
37 void cal_pw()
38 {
39     pw[0]=1;
40     for(int i=1;i<=SET_X;i++) pw[i]=(pw[i-1]<<1)%MOD;
41 }
42 
43 void sieve()
44 {
45     memset(mark,false,sizeof(mark));
46     for(int i=2;i<=SET_X;i++)
47     {
48         if(!mark[i]) prime[++tot]=i;
49         for(int j=1;j<=tot && (long long)i*prime[j]<=SET_X;j++)
50         {
51             mark[i*prime[j]]=true;
52             if(!(i%prime[j])) break;
53         }
54     }
55 }
56 
57 void resolve()
58 {
59     int t=x;
60     cnt=0;
61     memset(p,0,sizeof(p));
62     for(int i=1;i<=tot && prime[i]*prime[i]<=x;i++)
63     {
64         if(t%prime[i]==0)
65         {
66             cnt++;
67             while(t%prime[i]==0)
68             {
69                 t/=prime[i];
70                 p[cnt]++;
71             }
72         }
73     }
74     if(t!=1) p[++cnt]=1;
75 }
76 
77 int cal_ans()
78 {
79     resolve();
80     long long ans=1;
81     for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=ans*dp[y][p[i]]%MOD;
82     return ans*pw[y-1]%MOD;
83 }
84 
85 int main()
86 {
87     sieve();
88     cal_dp();
89     cal_pw();
90     cin>>q;
91     while(q--)
92     {
93         cin>>x>>y;
94         cout<<cal_ans()<<endl;
95     }
96 }

 

Codeforces 893E Counting Arrays:dp + 线性筛 + 分解质因数 + 组合数结论

标签:数列   pre   cout   def   bool   pac   define   预处理   max   

原文地址:https://www.cnblogs.com/Leohh/p/8480257.html

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