题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/893/E
题意：
共q组数据(q <= 10^5)，每组数据给定x,y(x,y <= 10^6)。
问你有多少种长度为y，乘积为x的整数数列。（可以有负数）
题解：
首先考虑数列只有正整数的情况。
将x分解质因数：x = ∑ a[i]*p[i]
由于x较大，所以要先用线性筛求出素数，再枚举素数分解质因数。
那么一个乘积为x的数列可以看做，将x的所有∑ p[i]个质因子，分配到了y个位置上。
设f(i)表示：将p[i]个质因子a[i]，分配到y个位置上的方案数。
所以乘积为x的数列总数ans = ∏ f(i)。
其中，f(i)等价于：长度为y，和为p[i]的数列总数。
由于是多组数据，所以要预处理出对于所有长度的f(i)。
dp[i][j]表示y = i时，之和为j的数列总数。
转移：dp[i][j] = ∑ dp[i-1][0 to j]
用前缀和优化转移，总复杂度O(nlogn)。
这样就求出了只考虑正整数情况下的数列总数：ans = ∑ dp[y][p[i]]
然后考虑加负号的情况。
由于x为正数，所以只能加偶数个负号。
所以加负号的方案数 = C(y,0) + C(y,2) + C(y,4) + ... + C(y,偶数)
有一个组合数结论：∑ C(n,偶数) = ∑ C(n,奇数) = 2^(n-1)。
所以最终ans = ans * (2^(y-1))即为最终答案。
AC Code:
1 #include <iostream> 2 #include <stdio.h> 3 #include <string.h> 4 #define MAX_X 1000005 5 #define MAX_P 25 6 #define SET_X 1000000 7 #define SET_P 20 8 #define MOD 1000000007 9 10 using namespace std; 11 12 int x,y,q; 13 int cnt,tot=0; 14 int p[MAX_P]; 15 int pw[MAX_X]; 16 int prime[MAX_X]; 17 int dp[MAX_X][MAX_P]; 18 int sum[MAX_X][MAX_P]; 19 bool mark[MAX_X]; 20 21 void cal_dp() 22 { 23 memset(dp,0,sizeof(dp)); 24 memset(sum,0,sizeof(sum)); 25 dp[0][0]=1; 26 for(int i=0;i<=SET_P;i++) sum[0][i]=1; 27 for(int i=1;i<=SET_X;i++) 28 { 29 for(int j=0;j<=SET_P;j++) 30 { 31 dp[i][j]=sum[i-1][j]; 32 sum[i][j]=(sum[i][j-1]+dp[i][j])%MOD; 33 } 34 } 35 } 36 37 void cal_pw() 38 { 39 pw[0]=1; 40 for(int i=1;i<=SET_X;i++) pw[i]=(pw[i-1]<<1)%MOD; 41 } 42 43 void sieve() 44 { 45 memset(mark,false,sizeof(mark)); 46 for(int i=2;i<=SET_X;i++) 47 { 48 if(!mark[i]) prime[++tot]=i; 49 for(int j=1;j<=tot && (long long)i*prime[j]<=SET_X;j++) 50 { 51 mark[i*prime[j]]=true; 52 if(!(i%prime[j])) break; 53 } 54 } 55 } 56 57 void resolve() 58 { 59 int t=x; 60 cnt=0; 61 memset(p,0,sizeof(p)); 62 for(int i=1;i<=tot && prime[i]*prime[i]<=x;i++) 63 { 64 if(t%prime[i]==0) 65 { 66 cnt++; 67 while(t%prime[i]==0) 68 { 69 t/=prime[i]; 70 p[cnt]++; 71 } 72 } 73 } 74 if(t!=1) p[++cnt]=1; 75 } 76 77 int cal_ans() 78 { 79 resolve(); 80 long long ans=1; 81 for(int i=1;i<=cnt;i++) ans=ans*dp[y][p[i]]%MOD; 82 return ans*pw[y-1]%MOD; 83 } 84 85 int main() 86 { 87 sieve(); 88 cal_dp(); 89 cal_pw(); 90 cin>>q; 91 while(q--) 92 { 93 cin>>x>>y; 94 cout<<cal_ans()<<endl; 95 } 96 }
