深入浅出乘法逆元
1.模的运算律
2.定义
3.求解
3.1费马小定理
3.2扩展欧几里得算法
3.3线性求解
深入浅出乘法逆元
模的运算律
先来一波模运算律表：
| 运算律 | 内容 |
|---|---|
| 交换律 | \((a+b)\%p=(b+a)\%p\) \((a\times b)\%p=(b\times a)\%p\) |
| 结合律 | \(((a+b)\%p+c)\%p=(a+(b+c)\%p)\%p\) \(((a\times b)\%p\times c)\%p=(a\times (b\times c)\%p)\%p\) |
| 分配率 | \(((a+b)\%p\times c)\%p=((a\times c)\%p+(b\times c)\%p)\%p\) \((a\times b)\%p=(a\%p\times b\%p)\%p\) \((a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p\) \((a-b)\%p=(a\%p-b\%p)\%p\) |
定义
有的时候我们需要对一个数取模，这很简单。但是在取模的过程中出现了除数，那么取模就没这么简单了：
\[\frac{7}{2}\%4=3\%4=3\]注意：\(\frac{7\%4}{2}=\frac{3}{2}=1\)是错误的
但万一是\(\frac{7^{10000}}{2}\%4\)计算机可无法先计算\(\frac{7^{10000}}{2}\)再\(\pmod4\)，因为数字太大了。
这个时候我们就需要用到乘法逆元了,事实上:\(\frac{7^{10000}}{2}=(7*3)^{10000}\)。我们运用模的运算律可以通过边乘边取模即可得到答案，其中3是7在\(\pmod 4\)意义下的逆元。
关于逆元的严格定义如下：
\(若整数b,m互质,并且b\mid a，则存在整数x，使得a/b\equiv a*x\pmod m，则称x为b的模m乘法逆元，记为b^{-1}\pmod m\)
求解
3.1费马小定理
1
因为\(a/b\equiv a*b^{-1}\equiv a/b*b*b^{-1}\pmod m\)，所以\(b*b^{-1}\equiv 1\pmod m\)2
如果m是质数(此时我们用符号\(p\)代替\(m\))并且\(b<p\),根据费马小定理\(b^{p-1}\equiv 1\pmod p\)，即\(b*b^{p-2}\equiv1\pmod p\)。因此，当模数\(p\)为质数时，\(b^{p-2}\)为\(b\)的乘法逆元。
到最后我们可以用快速幂来迅速求出\(b^{p-2}\)。代码如下：
int ksm(int a,int b,int p) {
int ans=1;
for(; b; b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;
return ans;
}时间复杂度是\(O(\log n)\)
3.2扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法的具体内容参考我写的：浅析扩展欧几里得算法(exgcd)
根据逆元的定义我们要求的是\(a*x\equiv1\pmod m\)关于x的同余方程，其中x为a在\(\pmod m\)意义下的逆元
事实上\[ax=by+1······①\]也就是\(ax\div m=y······1\)
变形①式得：\[ax-by=1\]
既然\(a,b\)都已知，就不难求出\(x和y\)了(但要注意\(y\)的系数\(-b\)必须是正整数，因为在计算机计算过程中如果模数是负的将导致结果出错)如果\(-b\)不是正整数，我们同时改变\(a,b\)的符号即可，\(a\)的符号并不影响结果。扩展欧几里得算法代码如下：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(b) {
int c=exgcd(a,b,y,x);
y-=a/b*x;
return c;
} else {
x=1;
y=0;
return a;
}
}时间复杂度是\(O(\ln n)\)
3.3线性求解
当我们需要求解大量的逆元的时候，前两种的方法时间复杂度都要乘以\(n\)，时间复杂度都不是很理想。所以我们就用\(O(n)\)的时间来快速求解。具体做法如下：假设我们要求x的逆元，那么：\[m=k*x+r\]\[k*x+r\equiv0\pmod m\]同乘以\(x^{-1}*r^{-1}\)得：\[k*r^{-1}+x^{-1}\equiv0\pmod m······①\]将②式变形得：\[x^{-1}\equiv-k*r^{-1}\pmod m\]
所以我们得到:\[x^{-1}=-\lfloor m/x\rfloor*(m\%x)^{-1}\]
那么只要建一个数组inv，初始值inv[1]=1。所以代码如下：
for(int i=2; i<=n; i++)
inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];