题意：$n^2-3n+2=\sum\limits_{d|n}f(d)$，求$F(n)=\sum\limits_{i=1}^n f(i)$
emmmmm这个出题人怎么这么清真？
$$\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^n\left(i^2-3i+2\right)&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|i}f(d)\\\left(\sum\limits_{i=1}^ni^2\right)-3\left(\sum\limits_{i=1}^ni\right)+2n&=\sum\limits_{d=1}^nf(d)\left\lfloor\dfrac nd\right\rfloor\\\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6-\dfrac{3n(n+1)}2+2n&=\sum\limits_{d=1}^nF\left(\left\lfloor\dfrac nd\right\rfloor\right)\\F(n)&=\dfrac{n(n-1)(n-2)}3-\sum\limits_{d=2}^nF\left(\left\lfloor\dfrac nd\right\rfloor\right)\end{align*}$$
用杜教筛筛一下即可
因为$f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\left(\left(\dfrac nd\right)^2-3\left(\dfrac nd\right)+2\right)$，所以筛出$\mu$之后枚举$d$更新倍数即可预处理$F(n)$
我不太会算时间复杂度，但实测预处理到$10^6$的总计算次数是$9185685$次，不会超时
#include<stdio.h>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define T 1000000
int pr[1000010],mu[1000010],f[1000010];
bool np[1000010];
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
void sieve(){
int i,j,m=0;
np[1]=1;
mu[1]=1;
for(i=2;i<=T;i++){
if(!np[i]){
m++;
pr[m]=i;
mu[i]=-1;
}
for(j=1;j<=m;j++){
if(pr[j]*(ll)i>T)break;
np[i*pr[j]]=1;
if(i%pr[j]==0)break;
mu[i*pr[j]]=-mu[i];
}
}
for(i=1;i<=T;i++){
if(mu[i]==0)continue;
for(j=1;i*(ll)j<=T;j++)f[i*j]=ad(f[i*j],mul(mu[i],mul(j-1,j-2)));
}
for(i=2;i<=T;i++)f[i]=ad(f[i],f[i-1]);
}
map<int,int>res;
map<int,int>::iterator it;
int dj(int n){
if(n<=T)return f[n];
it=res.find(n);
if(it!=res.end())return it->second;
int i,nex,s=mul(mul(n,n-1),mul(n-2,333333336));
for(i=2;i<=n;i=nex+1){
nex=n/(n/i);
s=de(s,mul(nex-i+1,dj(n/i)));
}
return res[n]=s;
}
int main(){
sieve();
int t,n;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
res.clear();
printf("%d\n",(dj(n)+mod)%mod);
}
}
