上一篇blog已经讲了单调队列与单调栈的用法，本篇将讲述如何借助单调队列优化dp。
我先丢一道题：bzoj1855
此题不难想出O(n^4)做法，我们用f[i][j]表示第i天手中持有j只股票时，所赚钱的最大值。
不难推出以下式子：
$f[i][j]=max\left\{
\begin{aligned}
f[k][l]+(l-j)\times bs[i] , l \in [j,j+bs[i]]\\
f[k][l]-(j-l)\times as[i] , l \in [j-as[i],j]\\
\end{aligned}
\right \}
k \in [1,i-w]$
考虑到第i天持有的j只股票不一定全是第i天购买的，则对于$\forall j$，有$f[i][j]≥f[i][j-1]$，式子可化为O(n^3),变为：
$f[i][j]=max\left\{
\begin{aligned}
f[i-w-1][l]+(l-j)\times bs[i] , l \in [j,j+bs[i]]\\
f[i-w-1][l]-(j-l)\times as[i] , l \in [j-as[i],j]\\
\end{aligned}
\right \}$
考虑到$i,j≤1000$,如采用此做法依然会TLE，我们考虑采用单调队列进行优化，以下以卖出股票举例：
我们设$k<l<j$，我们认为$f[i-w-1][k]$比$f[i-w-1][l]$优，则必然满足$f[i-w-1][k]>f[i-1-1][l]+(k-l) \times bp[i]$。
我们对于每一个$i$，维护一个$f[i-w-1]$的单调队列，采用上述的判定机制删除非最优元素，同时考虑到$k,l$应位于区间$[j,j+bs[i]]$中，则需从队头删除下标不位于该区间的元素，最优用队头元素更新f[i][j]即可。
买入同理。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define M 4010 3 using namespace std; 4 int f[M][M/2]={0},ap[M]={0},bp[M]={0},as[M]={0},bs[M]={0}; 5 int t,n,w,head,tail,q[M]={0},id[M]={0}; 6 int main(){ 7 scanf("%d%d%d",&t,&n,&w); 8 for(int i=w+1;i<=t+w;i++) scanf("%d%d%d%d",ap+i,bp+i,as+i,bs+i); 9 for(int i=0;i<=w;i++) 10 for(int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=-1234567890; 11 for(int i=w+1;i<=t+w;i++){ 12 for(int j=0;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-1][j]; 13 head=tail=0; 14 for(int j=1;j<=n;j++){ 15 if(head<tail&&id[head+1]<j-as[i]) head++; 16 while(head<tail&&q[tail]-f[i-w-1][j-1]<((j-1)-id[tail])*ap[i]) tail--; 17 q[++tail]=f[i-w-1][j-1]; id[tail]=j-1; 18 if(head<tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head+1]-(j-id[head+1])*ap[i]); 19 } 20 head=tail=0; 21 for(int j=n-1;j>=0;j--){ 22 if(head<tail&&j+bs[i]<id[head+1]) head++; 23 while(head<tail&&f[i-w-1][j+1]-q[tail]>(id[tail]-(j+1))*bp[i]) tail--; 24 q[++tail]=f[i-w-1][j+1]; id[tail]=j+1; 25 if(head<tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head+1]+(id[head+1]-j)*bp[i]); 26 } 27 } 28 printf("%d\n",f[t+w][0]); 29 }
