【欧拉函数】

任务开始。

• 什么是欧拉函数？我们又怎么求呢？？？
• 此次任务的主要怪物：欧拉函数

（1）欧拉函数定义

欧拉函数嘛，当然是我们著名的莱昂哈德·欧拉发明的啦~那么他是怎么定义介个函数滴？

咳咳，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）

啊？这就完了？好像挺简单的啊。。。

但是不要小瞧他，看过上一篇讨伐的各位可能还记得这样一张图：

当时是不是对它一知半解有点懵？现在我们来认真的导一下，彻底学习~

 （2）欧拉函数性质

1.φ(n)=n-1   当且仅当n为质数

这这这，这不废话吗，n要是质数的话小于n的数里面不都跟它互质吗！过过过过过

2.φ(p^a)=p^a-p^a-1   p为质数

em...这个稍微有点意思了。对于p^a而言，与它不互质的数必然含有因子p，说白了就是所有p的倍数都不与它互质

而这些数的数量就是(p^a)/p=p^a-1，然后再一减，就有了这个式子！下一个~！

3.φ(n*m)=φ(n)*φ(m)   当gcd(n,m)=1时

难度逐渐上升了呢，这个证明比较复杂。务必参考这个

不过我在这里会进一步的解释，你准备好这场惊心动魄的狩猎了吗？

首先我们列个矩阵：

可见这里我们拿出了所有n*m以内的数，每个数都可以表示为k*m+r，其中k为第几行（从0开始），r为第几列（从1开始）

接下来明确我们要求的：phi(n*m)

想要让一个数与n*m互质，只要满足其与n互质，又满足与m互质即可（设gcd(a,n)=1且gcd(a,m)=1。首先因为n与m互质，所以将n与m分别拆分质因数

，你会发现他们没有共同的质因子，而mn的质因子就为他们两个质因子的合集。如果a与n互质，那么他与n没有共同的质因子，同理与m也没有共同的

质因子，所以把a与mn放在一起，你理所应当的发现他们没有共同的质因子，即gcd(a,mn)=1）

所以求解就变成了所有即与n互质又与m互质的数

由于 GCD(km+r, m)=GCD(r, m)（记得辗转相除法吗？），所以每一列的 n 个元素同时与 m 互素当且仅当 GCD(r,m)=1，

因此与 m 互素的列共有phi(m)列。

假定第 r 列元素满足 GCD(r,m)=1. 则该列的所有元素为

 而我们需要验证的是，这些数中有phi(n)个数是与n互质的

首先我们要知道这些数组成了一个mod n的完全剩余系。

什么是完全剩余系呢？就是说有n-1个数，这些数除n的余数两两不相同，就说这些数构成了模n完全剩余系。

怎么证明这一点呢？

设其中的两个数分别为r+am,r+bm(0<=a,b<n)，假设a!=b，同时他们除n的余数相同，这就不是完全剩余系。这个条件写为：(r+am)%n==(r+bm)%n

所以[(r+am)%n]-[(r+bm)%n]==0,根据模运算，这么写也可以：

[(r+am)-(r+bm)]%n==0

所以[(a-b)m]%n==0

要想让这个式子成立，只有以下两种可能：

1. a-b==0，但是因为a!=b，所以不成立。
2. (a-b)m是n的倍数，因为gcd(m,n)=1，所以(a-b)==kn(k>=1)，但是因为0<=a,b<n，所以仍然不成立

综上所述，假设不成立，所以这些数构成了模n完全剩余系

根据gcd(r+km,n)==gcd((r+km)%n,n)，问题就转化成了[1,n-1]有多少与n互质的数（0肯定不行），没错就是我们一直梦寐以求的phi(n)！

在这mn个数中，有phi(m)列与m互质，这些列中又各自有phi(n)个数与n互质，

综上所述！phi(m*n)=phi(m)*phi(n)！（当且仅当gcd(m,n)=1)

4.φ(n)=n*∏1-1/p 其中p是n的质因子

这一条可以翻译成这样：

其中p₁到p_j为x所有的质因子

证明：拆n->p₁^a₁*p₂^a₂*......*p_j^a_j

用第3条变成：phi(n)=phi(p₁^a₁)*phi(p₂^a₂)*...*phi(p_j^a_j)

再用第2条变成：p₁^a₁*p₂^a₂*...*p_j^a_j*(1-p₁^-1)*(1-p₂^-1)*...*(1-p_j^-1)

化简得证~~

5.φ(2*n)=φ(n) 当n是奇数时

因为n为奇数，所以由 n到2n的变化中增加了质因子”2“，根据第四条可以变成：

φ(2*n)=φ(n)*2*(1-1/2)=φ(n)，得证

6.φ(n) mod 2=0 当n>2时

 由于第5条，我们只需要证明n为奇数或为2^a(a>1)时成立即可

1. n=2^a(a>1)，所以phi(n)=2^a-2^a-1=2^a-1*(2-1)为偶数
2. n为奇数，则n拆分后必有奇质因数，而p^a与p^a-1都为奇数，所以p^a-p^a-1必为偶数

综上，得证

（哎我去切了半天刀都钝了了TAT赶快磨下）

【砥石】入手！

有了这些素材性质做武器工具，我们就能更好的讨伐欧拉函数啦！让我们进入正题吧！

（3）欧拉函数计算

算法1：线性筛

这个线性筛你们一定眼熟，不眼熟赶快去看！在这里不讲了

时间代价：O(n)

缺点：处理大范围数据是比较憋手

优点：能求出范围内所有的欧拉函数值还附赠素数表~~