[模板]快速幂，矩阵快速幂

Part 1 快速幂

朴素的O(n)算法过慢，又存不下过大的变量，所以考虑将指数二进制化，每次右移一位，底数随着自乘，就有了O(logn)的算法。

大数通常需要结果对P取模， 为了避免中间变量溢出，我们可以边取模边计算，有如下等式：

• (a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p

• 代码如下：

  #include<iostream>
  using namespace std;
  long long b, p, k;
  long long quick_power(long long a, long long b, long long c)
  {
  long long res = 1;
  a %= c;
  while (b != 0)
  {
      if (b & 1)res = res*a%c;
      b = b >> 1;
      a = a*a%c;
  }
  return res;
  }
  int main()
  {
  cin >> b >> p >> k;
  cout << b << "^" << p << " mod " << k << "=" << quick_power(b, p, k);
  return 0;
  }

Part 2 矩阵快速幂

在矩阵快速幂之前，我们需要先了解下矩阵乘法：https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

与快速幂类似，再重载结构体的乘号即可。

• 代码如下：

  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #define maxn 101
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const ll p=1000000007;
  ll N,k;
  struct matrix{
  ll a[maxn][maxn];
  matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
  matrix operator *(matrix b)
  {
      matrix ret;
      for(int i=1;i<=N;++i)
          for(int j=1;j<=N;++j)
              for(int k=1;k<=N;++k)
                  ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+(a[i][k]*b.a[k][j])%p)%p;
      return ret;     
  }
  void print()
  {
      for(int i=1;i<=N;++i){
          for(int j=1;j<=N;++j)
              printf("%d ",a[i][j]);
          putchar('\n');
      }
  }
  };
  matrix quick_power(matrix b,ll k)
  {
  matrix ans;
  for(int i=1;i<=N;++i)
      for(int j=1;j<=N;++j)
          ans.a[i][j]=(i==j)?1:0;
  while(k){
      if(k&1)ans=ans*b;
      k>>=1;
      b=b*b;
  }
  return ans;
  }
  int main()
  {
  scanf("%lld%lld",&N,&k);
  matrix bs;
  for(int i=1;i<=N;++i)
      for(int j=1;j<=N;++j)
          scanf("%d",&bs.a[i][j]);
  matrix res=quick_power(bs,k);
  res=res%p;
  res.print();
  return 0;
  }