Description
对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
Input
第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k
Output
共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数
Sample Input
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2
Sample Output
14
3
HINT
100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000
想法
参考PopoQQQ
把每个查询拆成4个形如 1≤x≤n，1≤y≤m 的查询
设 \(f(i)\) 表示有多少满足 \(gcd(x,y)=k\) 的数对
设 \(F(i)\) 表示有多少满足 \(gcd(x,y)\) 为k的倍数的数对
显然 \(F(i)=f(i)+f(2i)+…\)
且 \(F(i)=\lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor\)
那么就可以用莫比乌斯反演了
\[
\begin{equation*}
\begin{aligned}
f(i)&=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n})F(d) \ &=\sum\limits_{n|d} \mu(\frac{d}{n}) \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \\end{aligned}
\end{equation*}
\]
可以发现 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor\) 只有 \(2 \sqrt{n} \sqrt{m}\)个值
于是可以分块，枚举每个值，记下 \(\mu(i)\) 的前缀和算一下就好了。
代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 50005;
int mu[N],prime[N],pnum,p[N];
int sum[N];
void getmu(){
mu[1]=1;
sum[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++) p[i]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(p[i]) {
prime[pnum++]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=0;j<pnum && (ll)prime[j]*i<N;j++){
p[i*prime[j]]=0;
if(i%prime[j]==0){
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
mu[i*prime[j]]=mu[i]*-1;
}
sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
}
int a,b,c,d,k;
ll ans(int x,int y){
int xx=x/k,yy=y/k;
ll ret=0;
for(int l=1,r;l<=min(xx,yy);l=r+1){
r=min(xx/(xx/l),yy/(yy/l));
ret+=((ll)sum[r]-sum[l-1])*(xx/l)*(yy/l);
}
return ret;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
getmu();
while(n--){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
printf("%lld\n",ans(b,d)-ans(b,c-1)-ans(a-1,d)+ans(a-1,c-1));
}
return 0;
}