Description
给出一个\(n(n\leq3\times10^5)\)个数的序列，进行\(m(m\leq3\times10^5)\)次操作，操作有两种：
- 给区间\([L,R]\)加上一个斐波那契数列，即\(\{a_L,a_{L+1},...,a_R\} \rightarrow \{a_L+F_1,a_{L+1}+F_2,...,a_R+F_{R-L+1}\}\)
- 询问区间\([L,R]\)的和，对\(10^9+9\)取模。
斐波那契数列：\(F_1=1,F_2=2\)且满足\(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\)。
Solution
容易知道，满足\(a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\)的数列具有以下性质：
- 若\(c_n=a_n+b_n\)，则\(c_1=a_1+b_1,c_2=a_2+b_2,c_{n+2}=c_n+c_{n+1}\)。
- 有通项公式\(a_n=F_{n-2}a_1+F_{n-1}a_2\)。
- 有前缀和公式\(\sum_{i=1}^n a_i=a_{n+2}-a_2\)。
下面依次进行证明。
证明1
\(c_{n+2}=a_{n+2}+b_{n+2}=(a_n+a_{n+1})+(b_n+b_{n+1})=(a_n+b_n)+(a_{n+1}+b_{n+1})=c_n+c_{n+1}\)
证明2
若当\(n\leq k\)时，\(a_n=F_{n-2}a_1+F_{n-1}a_2\)，则
\(a_{k+1}=a_{k-1}+a_k=(F_{k-3}a_1+F_{k-2}a_2)+(F_{k-2}a_1+F_{k-1}a_2)=F_{k-1}a_1+F_ka_2\)
因为\(a_1=F_{-1}a_1+F_0\)（可以认为\(F_0=F_2-F_1=0,F_{-1}=F_1-F_0=1\)），\(a_2=F_0a_1+F_1a_2\)
所以\(\forall n\in\mathbb{Z},a_n=F_{n-2}a_1+F_{n-1}a_2\)。
证明3
\(\begin{align} 2\Sigma_{i=1}^n a_i &= (a_1+a_2+...+a_n)+(a_1+a_2+...+a_n) \\ &=a_1+(a_1+a_2)+(a_2+a_3)+...+(a_{n-1}+a_n)+a_n \\ &=a_1+a_n+(a_3+a_4...+a_{n+1}) \\ &=(a_1+a_2+...+a_n)-a_2+a_n+a_{n+1} \\ &=\Sigma_{i=1}^n a_i+a_{n+2}-a_2 \\ \Sigma_{i=1}^n a_i &=a_{n+2}-a_2 \end{align}\)
我们现在就可以用线段树维护这个序列了。线段树中的每个节点记录三个值\(f_1,f_2,sum\)，表示该区间被加上了一个以\(f_1,f_2\)开头的数列，区间和为\(sum\)。
通过性质1，我们知道\(f_1,f_2\)可以叠加；
通过性质2，我们可以\(O(1)\)地将\(f_1,f_2\)下放；
通过性质3，我们可以\(O(1)\)地更新\(sum\)。
时间复杂度\(O(mlogn)\)。
Code
//DZY Loves Fibonacci Numbers
#include <cstdio>
inline char gc()
{
static char now[1<<16],*S,*T;
if(S==T) {T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(S==T) return EOF;}
return *S++;
}
inline int read()
{
int x=0,f=1; char ch=gc();
while(ch<‘0‘||‘9‘<ch) {if(ch==‘-‘) f=-1; ch=gc();}
while(‘0‘<=ch&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=gc();
return x*f;
}
typedef long long lint;
int const N=3e5+10;
lint const P=1e9+9;
int n,m; lint F[N],a[N];
#define s sg[s0]
struct seg{lint f1,f2,sum;} sg[N*20];
void update(int s0,int len)
{
s.f1%=P,s.f2%=P;
s.sum=sg[s0<<1].sum+sg[s0<<1|1].sum+(s.f1*F[len]+s.f2*F[len+1]-s.f2),s.sum%=P;
}
void pushdown(int s0,int L0,int R0)
{
if(s.f1==0&&s.f2==0) return;
int mid=L0+R0>>1,Ls0=s0<<1,Rs0=Ls0|1;
sg[Ls0].f1+=s.f1; sg[Rs0].f1+=s.f1*F[mid-L0]+s.f2*F[mid-L0+1];
sg[Ls0].f2+=s.f2; sg[Rs0].f2+=s.f1*F[mid-L0+1]+s.f2*F[mid-L0+2];
s.f1=s.f2=0;
update(Ls0,mid-L0+1); update(Rs0,R0-mid);
}
void ins(int s0,int L0,int R0,int L,int R)
{
if(L<=L0&&R0<=R) {s.f1+=F[L0-L+1],s.f2+=F[L0-L+2],update(s0,R0-L0+1); return;}
pushdown(s0,L0,R0);
int mid=L0+R0>>1;
if(L<=mid) ins(s0<<1,L0,mid,L,R);
if(mid<R) ins(s0<<1|1,mid+1,R0,L,R);
update(s0,R0-L0+1);
}
lint query(int s0,int L0,int R0,int L,int R)
{
if(L<=L0&&R0<=R) return s.sum;
pushdown(s0,L0,R0);
lint res=0; int mid=L0+R0>>1;
if(L<=mid) res+=query(s0<<1,L0,mid,L,R);
if(mid<R) res+=query(s0<<1|1,mid+1,R0,L,R);
return res%P;
}
lint sumA[N];
int main()
{
n=read(),m=read();
F[1]=F[2]=1; for(int i=3;i<=n+1;i++) F[i]=(F[i-2]+F[i-1])%P;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),sumA[i]=sumA[i-1]+a[i];
int rt=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int opt=read(),L=read(),R=read();
if(opt==1) ins(rt,1,n,L,R);
else printf("%lld\n",(query(rt,1,n,L,R)+sumA[R]-sumA[L-1])%P);
}
return 0;
}P.S.
CF怎么是个题就要开long long！？
不知道为什么要求对\(10^9+9\)取模，而不是\(10^9+7\)。
