Description
\(k\)个座位，\(n\)个人依次过来，每人随机从\(k\)个座位中选择一个，并从它开始不停向后走直到遇到空座位坐下。求所有人都能坐下的概率（即没有人走到第\(k+1\)个位置）。\(n, k\leq200\)，答案以有理数形式输出。
Solution
我们在最后一个座位之后添加第\(k+1\)个座位，并把这些座位连成环（\(k+1\)后面是第\(1\)个）。并令所有人可以从\(k+1\)个座位中任选一个。
那么现在每个座位坐到人的概率都相同（因为环是对称的），为\(\frac n{k+1}\)。答案实际上就是第\(k+1\)的座位没有人的概率，即\(\frac{k-n+1}{k+1}\)。但是这样是在所有人都可以选\(k+1\)的情况下的。而如果有人选了\(k+1\)就一定没有算到这个概率里，所以只需要乘上\(\left(\frac{k+1}k\right)^n\)即可。
所以答案即为
\[
\frac{(k-n+1)(k+1)^{n-1}}{k^n}
\]
有理数计算的话，质因数分解+高精即可。
Code
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 205;
int p[N];
int A[10000], len;
void add(int n, int m) {
for (int i = 2; i <= n; ++i) if (!(n % i)) {
while (!(n % i)) {
p[i] += m;
n /= i;
}
}
}
void mul(int x) {
for (int i = 0, t = 0; i < len || t; ++i) {
t = (A[i] = A[i] * x + t) / 10;
A[i] %= 10;
if (i >= len) len = i + 1;
}
}
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
if (n > k) { puts("0 1"); continue; }
memset(p, 0, sizeof p);
add(k - n + 1, 1);
add(k + 1, n - 1);
add(k, -n);
memset(A, 0, sizeof A);
A[0] = len = 1;
for (int i = 1; i <= k + 1; ++i)
for (int j = 0; j < p[i]; ++j)
mul(i);
while (len--) printf("%d", A[len]);
putchar(‘ ‘);
memset(A, 0, sizeof A);
A[0] = len = 1;
for (int i = 1; i <= k + 1; ++i)
for (int j = p[i]; j < 0; ++j)
mul(i);
while (len--) printf("%d", A[len]);
putchar(‘\n‘);
}
}