题目描述
平面上有\(n\)个点，你要用一些矩形覆盖这些点，要求：
- 每个矩形的下边界为\(y=0\)
- 每个矩形的大小不大于\(s\)
问你最少要用几个矩形。
\(n\leq 100,1\leq y\leq s\)
题解
先把坐标离散化。
猜（zheng）一个结论：最优解中任意两个矩形的横坐标只可能是相离或包含，不可能是相交。证明略。
考虑区间DP。
设\(f_{l,r,h}\)为覆盖横坐标\(l\sim r\)，纵坐标\(>h\)的所有矩形需要的最少次数。
枚举\(l,r,h\)，有两种转移：
- 找到一个横坐标\(i\)，使得没有任意一个矩形穿过\(i\)。枚举\(i\)分治即可。
- 放一个横坐标为\(l\sim r\)的矩形，把高度设为上限。
对于每一个\(h\)，这一层的转移是\(O(n^3)\)的，到下一层的转移是\(O(n^2\log n)\)的，所以总时间复杂度就是\(O(n^4)\)。
用记忆化搜索可以跑得飞快。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
int n,s;
pii a[110];
int f[110][110][110];
int xx[110];
int yy[110];
int m1,m2;
int d[110];
int gao(int x)
{
return x?s/x:0x3fffffff;
}
int gao(int l,int r,int h)
{
int &s=f[h][l][r];
if(~s)
return s;
while(l<=r&&d[l]<=h)
l++;
while(l<=r&&d[r]<=h)
r--;
if(l>r)
return s=0;
int i;
s=0x7fffffff;
for(i=l;i<r;i++)
s=min(s,gao(l,i,h)+gao(i+1,r,h));
int hh=gao(xx[r]-xx[l]);
if(hh<=yy[h])
return s;
int v=upper_bound(yy+1,yy+m2+1,hh)-yy-1;
s=min(s,gao(l,r,v)+1);
return s;
}
void solve()
{
scanf("%d%d",&n,&s);
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i].first,&a[i].second);
xx[i]=a[i].first;
yy[i]=a[i].second;
}
sort(xx+1,xx+n+1);
sort(yy+1,yy+n+1);
m1=unique(xx+1,xx+n+1)-xx-1;
m2=unique(yy+1,yy+n+1)-yy-1;
memset(f,-1,sizeof f);
for(i=1;i<=m1;i++)
d[i]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
a[i].first=lower_bound(xx+1,xx+m1+1,a[i].first)-xx;
a[i].second=lower_bound(yy+1,yy+m2+1,a[i].second)-yy;
d[a[i].first]=max(d[a[i].first],a[i].second);
}
int ans=gao(1,m1,0);
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("b.in","r",stdin);
freopen("b.out","w",stdout);
#endif
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
solve();
return 0;
}