贝叶斯定理

时间：2018-03-08 17:30:18 阅读：489 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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众所周知，贝叶斯定理是一种在已知其他概率的情况下求概率的方法：

首先，对于贝叶斯定理，还是要先了解各个概率所对应的事件。

　　P(A|B) 是在 B 发生的情况下 A 发生的概率；

　　P(A) 是 A 发生的概率；

　　P(B|A) 是在 A 发生的情况下 B 发生的概率；

　　P(B) 是 B 发生的概率。

贝叶斯法则的原理　　　　

根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

因此，

$P(A\cap B)=P(A|B){P(B)}$

同理可得，

$P(A\cap B)=P(B|A){P(A)}$

所以，

$P(A|B){P(B)}=P(B|A){P(A)}$

即，

$P(A|B)=\frac{P(B|A){P(A)}}{{P(B)}}$

这就是条件概率的计算公式。

全概率公式　　　　

由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。

假定样本空间S，是两个事件A与A‘的和。

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上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A‘，它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。

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即

$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap A')$

在上一节的推导当中，我们已知

$P(B\cap A)=P(B|A)P(A)$

所以，

$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')$

这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A‘构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A‘的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。

将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')}$

病人分类的例子　　　　

让我从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。某个医院早上收了六个门诊病人，如下表。

症状	职业	疾病
打喷嚏	护士	感冒
打喷嚏	农夫	过敏
头疼	建筑工人	脑震荡
头疼	建筑工人	感冒
打喷嚏	教师	感冒
头疼	教师	脑震荡

现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？根据贝叶斯定理：

P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)
可得：
P(感冒|打喷嚏x建筑工人) 
　　　　= P(打喷嚏x建筑工人|感冒) x P(感冒) 
　　　　/ P(打喷嚏x建筑工人)

假定"打喷嚏"和"建筑工人"这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了

P(感冒|打喷嚏x建筑工人) 
　　　　= P(打喷嚏|感冒) x P(建筑工人|感冒) x P(感冒)
　　　　/ P(打喷嚏) x P(建筑工人)

这是可以计算的。

P(感冒|打喷嚏x建筑工人) 
　　　　= 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33 
　　　　= 0.66

因此，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。
这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。

贝叶斯滤波器　　　　

首先，BF是什么？

BF是依据机器人传感器获取的观测数据，利用Bayes公式（概率论）去估计机器人的状态的一种手段。

这里的关键点在于，BF假设了机器人当前的状态服从某一个概率分布，将机器人状态估计问题建模为一个概率分布的估计问题，从而利用概率论的数学工具来解决机器人的状态估计。

那么为什么要用BF呢？

这是因为，机器人的运动模型以及传感器的观测模型常常受到噪声干扰，而这种噪声都是随机性的。这样建模就可以有利于我们把噪声的分布、统计特性给估计出来，从而去除噪声，得到真实观测以及真实状态。

那么，BF具体是怎么对机器人状态估计问题建模的呢？

举一个例子，我做了一只小狗机器人，它身上装了GPS，可以时刻返回小狗机器人的位置。为了遥控它，我还给它装了一个遥控接收装置（根据小狗之前在的位置加上遥控量，也能算出小狗的位置）。但是，我遇到两个问题。一是，我花的钱太少了，买到GPS不太准，本来小狗应该在(5,3)的位置，但是测量的结果却是(5.1,2.8)。二是，小狗机器人接收到指令是前进1米，但是实际走的却可能是0.98米。小狗机器人的观测过程和运动过程中都存在噪声的干扰，这使得我想要知道我的小狗跑到哪里变得很困难，需要借助滤波手段来估计小狗位置。

基于这个例子，由于受到噪声污染，小狗机器人位置和GPS的观测可以被建模为概率分布，以表征其不确定性，即：