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NYOJ-1013除法表达式

时间:2018-03-09 18:59:36      阅读:196      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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除法表达式

时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB
难度:3
 
描述

    给出一个这样的除法表达式:X1/X2/X3/···/Xk,其中Xi是正整数。除法表达式应当按照从左到右的顺序求和,例如表达式1/2/1/2的值为1/4。但是可以在表达式中嵌入括号以改变计算顺序,例如表达式(1/2)/(1/2)的值为1.

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输入
首先输入一个N,表示有N组测试数据,
每组数据输入占一行,为一个除法表达式,
输入保证合法。
使表达式的值为整数。k<=10000,Xi<=100000000.
输出
输出YES或NO
样例输入
1
1/2/1/2
样例输出
YES

(1)思路方向分析

不难知道整个表达式最后一定会变成这样的形式:A/B

而A,B都可以表达为这些数中某一部分的乘积。自然就会想到B越小越好,最好是1,这样就可以变成整数了~( ̄▽ ̄)"

经过一些尝试后会发现,X2必然在B中,而其他数都可以在上,这样问题就简单明了了

设 E=(X1X3X4X5X6...Xk)/X2  只需要判断E是否为整数即可!(? ?_?)?

(2)方法

方一:

简单粗暴直接算,不会高精度的会溢出,会高精度的打码打到手抽(;′д`)ゞ

方二:

使用唯一分解定理,把X2拆了,然后看看剩下所有的Xi们能不能贡献出所需的pi对应的次数ai,这个方法很正确,但还可以更优化一点

方三:

没错就是直接约分~!每次把X2除掉与Xi的gcd,这样除k遍后如果X2是1那么E就是整数啦~(●ˇ?ˇ●)

口以这么写:

bool judge(int *X) {
	X[2] /= gcd(X[2],X[1]);
	for(int i = 3;i <= k;i++) X[2] /= gcd(X[i],X[2]);
	return X[2] == 1;
}

  这个算法的关键是gcd,而这也是我学习这道题的主要目的。

推荐这个文章,写的真是太好了(′▽`???),另外下方的评论也请不要错过!!

这个文章给出的最强gcd如下,O(log(max(a, b)))

int superGcd(int a,int b)
{
	if(a==0)return b;
	if(b==0)return a;
	if(!(a&1)&&!(b&1))return superGcd(a>>1,b>>1)<<1;
	else if(!(b&1))return superGcd(a,b>>1);
	else if(!(a&1))return superGcd(a>>1,b);
	else return superGcd(abs(a-b),min(a,b));
}

  相关证明可以进一步的查看这里

假设有两个数x和y,存在一个最大公约数z=(x,y),即x和y都有公因数z,
那么x一定能被z整除,y也一定能被z整除,所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。(m和n可取任意整数)

对于辗转相除法来说,思路就是:若x>y,设x/y=n余c,则x能表示成x=ny+c的形式,将ny移到左边就是x-ny=c,由于一般形式的mx±ny能被z整除,

所以等号左边的x-ny(作为mx±ny的一个特例)就能被z整除,即x除y的余数c也能被z整除。

而更相减损术则有点像是弱化了除法的辗转相除法

我再说一遍,位移大法好啊啊啊啊啊

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NYOJ-1013除法表达式

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原文地址:https://www.cnblogs.com/2017SSY/p/8535270.html

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