前言
前面介绍的栈、队列都是线性结构(linear structure)。而树是非线性结构(non-linear structure)。因此，树中的元素之间一般不存在类似于线性结构的一对一的关系，更多地表现为多对多的关系。直观地看，它是数据元素(在树中称为节点)按分支关系组织起来的结构。显然，树形结构是比线性结构更复杂的一种数据结构类型。
树
树是含有n个节点的有穷集合，其中有一个节点比较特殊称为根节点。在图示树时，用一条边连接两个有逻辑关系的节点，这个关系被称为父子关系。
二叉树
二叉树(Binary Tree)由节点的有限集合构成。这个集合或者为空集，或者为由一个根节点(root)和两棵互不相交，分别称为这个根的左子树(left subtree)和右子树(right subtree)的二叉树组成的集合。
一棵二叉树的示意图：
树和二叉树的主要区别
① 树中节点的最大度数没有限制，而二叉树节点的度不超过2。
② 树中节点的孩子节点，无左右之分，而二叉树中是有区分的，即孩子是有区别的：左孩子、右孩子，且次序不可颠倒。
③ 树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0。
常见概念
⑴ 节点的度：某节点的度定义为该节点孩子节点的个数。
⑵ 叶子节点：度为0的节点。
⑶ 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度。
⑷节点的高度：从该节点起到叶子节点的最长简单路径的边数。(简单路径：无重复边的路径)
⑸ 树的高度：根节点的高度。
⑹ 节点的层数：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
⑺ 数的层数：根节点的层数。
⑻ 节点的深度：即该节点的层数。
⑼ 树的深度：根节点的深度。
⑽ 外节点：叶子节点。
⑾ 内节点：除叶子节点之外的节点。
⑿ 满二叉树：二叉树中节点的度只能是0或2。
⒀ 完全二叉树：除最后一层，每一层的节点数都达到最大。最后一层若是没满，则节点集中在左边，空的只能是右边。
⒁ 扩充二叉树：对二叉树中度为1的节点和叶子节点添加空节点，使之成为满二叉树。
注：关于树深度、层数、高度的定义会有不同的说法：有从0开始计数的，也有从1开始计数的。从哪儿开始计数不是关键，关键在于一致性，量的写法要一致。
几个量的关系
① 对于二叉树，根节点是第一层，则第i层至多有
个结点。若共有k层，则最多有节点
个。
② 按层次顺序对一棵有n个节点的完全二叉树的所有节点从0到n-1编号。若父节点的编号是i，则左孩子的编号是2*i+1，右孩子的编号是2*i+2。(当然，这是在存在左右孩子的情况下)。同样的，若孩子(无论左右孩子)节点是i，则父节点是 (i-1)/2。
③ 对于一棵满二叉树，外部节点或者说是叶子节点数是n，则内部节点数是n-1。
④ 对于一棵二叉树，用ni表示度为i的节点个数，则n0=n2+1。证明如下：总节点数n=n0+n1+n2。用e表示边数，则n=e+1，这是因为除根节点外，每一个节点都和一条边对应。同时，e=2n2+n1，推出n0+n1+n2=2n2+n1+1，化简即得n0=n2+1。这个结论用语言表述：二叉树中，叶子节点比度为2的节点多一个。
⑤ 有n个节点的完全二叉树，树高度
⑥ 在二叉树中，第i层的第一个节点(最左边的节点)的编号是
示意图
二叉树遍历
在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。
一颗简单的二叉树示意图：
二叉树的遍历分为三种：前(先)序、中序、后序遍历。
设L、D、R分别表示二叉树的左子树、根结点和遍历右子树，则先(根)序遍历二叉树的顺序是DLR，中(根)序遍历二叉树的顺序是LDR，后(根)序遍历二叉树的顺序是LRD。（D根结点的顺序遍历从第一个到最后一个，其余LR）
还有按层遍历二叉树。这些方法的时间复杂度都是O(n)，n为结点个数。
假设我们有一个包含值的value和指向两个子结点的left和right的树结点结构。我们可以写出这样的过程：
先序遍历(递归实现)：
visit(node)
print node.value
if node.left != null then visit(node.left)
if node.right != null then visit(node.right)
中序遍历(递归实现)：
visit(node)
if node.left != null then visit(node.left)
print node.value
if node.right != null then visit(node.right)
后序遍历(递归实现)：
visit(node)
if node.left != null then visit(node.left)
if node.right != null then visit(node.right)
print node.value
二叉树创建和遍历：
public class BinaryTree
{ private Node root; //内部节点类 private class Node
{ private Node left; private Node right; private int data; public Node(int data)
{ this.left = null; this.right = null; this.data = data; } } public BinaryTree()
{ root = null; }
//递归创建二叉树 public void buildTree(Node node,int data)
{ if(root == null)
{ root = new Node(data); }
else
{ if(data < node.data)
{ if(node.left == null)
{ node.left = new Node(data); }
else
{ buildTree(node.left,data); } }
else
{ if(node.right == null)
{ node.right = new Node(data); }
else
{ buildTree(node.right,data); } } } } //前序遍历 public void preOrder(Node node)
{ if(node != null)
{ System.out.println(node.data); preOrder(node.left); preOrder(node.right); } } //中序遍历 public void inOrder(Node node)
{ if(node != null)
{ inOrder(node.left); System.out.println(node.data); inOrder(node.right); } } //后序遍历 public void postOrder(Node node)
{ if(node != null)
{ postOrder(node.left); postOrder(node.right); System.out.println(node.data); } } public static void main(String[] args)
{ int[] a = {2,4,12,45,21,6,111}; BinaryTree bTree = new BinaryTree(); for (int i = 0; i < a.length; i++)
{ bTree.buildTree(bTree.root, a[i]); } bTree.preOrder(bTree.root); bTree.inOrder(bTree.root); bTree.postOrder(bTree.root); } }
插入操作
二叉树查找树b插入操作x的过程如下：
① 若b是空树，则直接将插入的结点作为根结点插入。
② x等于b的根结点的数据的值，则直接返回，否则。
③ 若x小于b的根结点的数据的值，则将x要插入的结点的位置改变为b的左子树，否则。
④ 将x要出入的结点的位置改变为b的右子树。
public void insert(T t) { rootTree = insert(t, rootTree); } public BinaryNode insert(T t,BinaryNode node) { if(node==null) { //新构造一个二叉查找树 return new BinaryNode(t, null, null); } int result = t.compareTo(node.data); if(result<</SPAN>0) node.left= insert(t,node.left); else if(result>0) node.right= insert(t,node.right); else ;//doNothing return node; }
删除操作
对于二叉查找树的删除操作（这里根据值删除，而非结点）分三种情况：
不过在此之前，我们应该确保根据给定的值找到了要删除的结点，如若没找到该结点
不会执行删除操作！
下面三种情况假设已经找到了要删除的结点。
① 如果结点为叶子结点（没有左、右子树），此时删除该结点不会玻化树的结构
直接删除即可，并修改其父结点指向它的引用为null。如下图：
② 如果其结点只包含左子树，或者右子树的话，此时直接删除该结点，并将其左子树
或者右子树设置为其父结点的左子树或者右子树即可，此操作不会破坏树结构。
③ 当结点的左右子树都不空的时候，一般的删除策略是用其右子树的最小数据 （容易找到）代替要删除的结点数据并递归删除该结点（此时为null），因为 右子树的最小结点不可能有左孩子，所以第二次删除较为容易。 z的左子树和右子树均不空。找到z的后继y，因为y一定没有左子树，所以可以删除y，并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点，并用y的值代替z的值.如图：
public void remove(T t) { rootTree = remove(t,rootTree); } public BinaryNode remove(T t,BinaryNode node) { if(node == null) return node;//没有找到,doNothing int result = t.compareTo(node.data); if(result>0) node.right = remove(t,node.right); else if(result<</SPAN>0) node.left = remove(t,node.left); else if(node.left!=null&&node.right!=null) { node.data = findMin(node.right).data; node.right = remove(node.data,node.right); } else node = (node.left!=null)?node.left:node.right; return node; }
查找二叉树节点
在二叉查找树中查找x的过程如下：
① 若二叉树是空树，则查找失败。
② 若x等于根结点的数据，则查找成功，否则。
③ 若x小于根结点的数据，则递归查找其左子树，否则。
④ 递归查找其右子树。
public TreeNode search(int Key) { TreeNode node = root; // 首先定义一个节点让其指向根，在下面的循环中 // 只要节点值不等于要查找的节点值就进入循环如果没有找到则返回null while (node.keyValue != Key) { if (Key < node.keyValue) { // 如果要查找的值小于节点值则指向左节点 node = node.leftNode; } else { // 否则指向右节点 node = node.rightNode; } if (node == null) { // 如果节点为空了则返回null return null; } } return node; }
最小值和最大值
思路：最大值一直往右走，最小值一直往左走。
public int max() { TreeNode node = root; TreeNode parent = null; while (node != null) { parent = node; node = node.rightNode; } return parent.keyValue; } public int min() { TreeNode node = root; TreeNode parent = null; while (node != null) { parent = node; node = node.leftNode; } return parent.keyValue; }
树的深度
int length(Node root){ int depth1; int depth2; if(root == null) return 0; //左子树的深度 depth1 = length(root.right); //右子树的深度 depth2 = length(root.left); if(depth1>depth2) return depth1+1; else return depth2+1; }
