这道题可以很快想到暴力DP的做法：
f[i]=min(f[i],f[j]+(C[i]-C[j]+i-j-1-L)^2);
但是数据范围有50000，这就需要用斜率优化了。
我们设S[i]=C[i]+i(C[i]为前缀和)，L++,设j为i的最优决策点。。
原方程就变为：
f[i]=f[j]+(S[i]-(S[j]-L))^2;
f[i]=f[j]+S[i]^2+(S[j]-L)^2-2*S[i]*(S[j]-L);
f[j]+S[i]^2+(S[j]-L)^2=2*S[i]*(S[j]-L)+f[i];
y = k x + b
我们设2*S[i]为k。
相当于这题就变成了求最小的截距f[i]。
假设A，B，C，D为四个决策点。
因为AB的斜率小于f的斜率(2*S[i])，所以它对当前状态的转移一定是没用的。
因为如果要进过A点转移，需要将f"抬高"很多，会大大增大它的截距(f[i])。
所以斜率小于f(当前点)都可以排除。
所以B为最优决策点。
通过B点转移后，如图：
而对于这个New点，它对于之后的点，比D点更优，因为在之后转移时，CNew比CD的斜率更小，所得截距也最小。(由于f的斜率是单调递增的)
这个在凸包上的操作通过单调队列实现。
code：
#include <cstdio> using namespace std; int read() { char c;while(c=getchar(),c<‘0‘||c>‘9‘); int x=c-‘0‘;while(c=getchar(),c>=‘0‘&&c<=‘9‘)x=x*10+c-‘0‘; return x; } typedef long long LL; LL N,L,f[50005],a[50005]; LL sum[50005],S[50005]; LL l[50005],h,t; double X(int x){return S[x];} double Y(int y){return f[y]+(S[y]+L-1)*(S[y]+L-1);} double get(int x,int y){ return (Y(y)-Y(x))/(X(y)-X(x)); } int main() { N=read(),L=read();L++; register int i; for(i=1;i<=N;i++)a[i]=read(); for(i=1;i<=N;i++){ sum[i]=sum[i-1]+a[i]; S[i]=sum[i]+i; } h=t=0; for(i=1;i<=N;i++){ while(h<t&&get(l[h],l[h+1])<2*S[i])h++; f[i]=f[l[h]]+(S[i]-S[l[h]]-L)*(S[i]-S[l[h]]-L); while(h<t&&get(l[t-1],l[t])>get(l[t],i))t--; l[++t]=i; } printf("%lld",f[N]); return 0; }
